Тем не менее мой собеседник сказал, что очень гордится членством в группе Бурбаки. Ему тридцать лет, и он как раз стал профессором, когда получил первое приглашение от Николя Бурбаки присутствовать на следующем собрании, которое предполагалось провести в шато у Луары. Он объяснил, что большинство математиков принимают такие приглашения, хотя немногочисленные женщины, получившие его, ответили отказом. Сейчас, будучи полноправным членом группы, этот человек считает своим историческим долгом помочь ей завершить ту работу, ради которой она была создана, — довести до конца публикацию книг серии «Начала математики». Запланировано выпустить четыре последние книги серии. Мой собеседник понимает, что эти книги вряд ли увидят свет до того, как ему исполнится пятьдесят лет и он выйдет из состава группы. Но он считает, что возрастное ограничение — это хорошо, поскольку поддерживает жизнеспособность группы.
Теория множеств — это один из подходов к построению основы для математики. Другой подход находится сейчас в процессе формирования и подразумевает использование компьютеров. Система для проверки доказательств — это элемент программного обеспечения, проверяющий правильность логических выводов, имеющихся в доказательстве [16]. Хотелось бы верить, что когда-нибудь компьютеры смогут доказать любое математическое утверждение [17]. Если вы захотите убедиться в том, что теорема верна, вам будет достаточно просто нажать кнопку.
Первой крупной теоремой, доказанной с помощью компьютера, стала теорема о четырехцветной карте, или теорема о четырех красках. Мы с вами уже удостоверились, что любой машинальный рисунок может быть двухцветным, другими словами, что мы можем заштриховать его фрагменты так, чтобы две смежные области всегда были разных цветов. В 1852 году проживающий в Лондоне выходец из Южной Африки Френсис Гатри раскрашивал карту графств Англии. Он обнаружил, что для раскраски карты таким образом, чтобы соседние графства имели разные цвета, достаточно четырех красок. Эксперименты показали, что четырех цветов хватает и для того, чтобы раскрасить так любую карту. Однако больше столетия никто не мог это доказать, пока в 1976 году Кеннет Аппел и Вольфганг Хакен из Иллинойского университета не сделали это, воспользовавшись суперкомпьютером для проверки всех вероятных конфигураций карт. Математики отреагировали неоднозначно [18]. В принципе должна существовать возможность проверить каждую строку доказательства. Но компьютер выполнил слишком большой объем вычислений, для того чтобы можно было их все проверить, а это противоречило эталону доказательства теорем, использовавшемуся со времен Евклида. Однако помимо сугубо философских возражений против такого метода доказательства теорем существовали и другие претензии практического плана. В программах всегда есть ошибки. Разве могли Аппел и Хакен быть полностью уверены в том, что в их программе их нет? Нет, не могли. На самом деле в их доказательстве до сих пор находят новые компьютерные ошибки, хотя все обнаруженные ошибки были исправлены. В 1995 году группа исследователей Принстонского университета составила усовершенствованное компьютерное доказательство теоремы о четырехцветной карте. А в 2004 году Джордж Гонтье из исследовательской лаборатории компании Microsoft в Кембридже (Англия) проверил его с помощью специальной программы, определяющей корректность доказательств, хотя для этого ему пришлось перевести все концепции на специальный язык программирования, который понимала эта программа. Но тогда возникает следующий вопрос: разве можно быть уверенным в том, что такая программа-помощник не содержит ошибок? Нет, полной уверенности в этом нет, однако ее уровень все же выше, чем в случае исходных доказательств, поскольку эта программа была многократно протестирована при выполнении многих других задач. В настоящее время доказательство теоремы о четырех красках — одно из наиболее тщательно проверенных в математике.
После первоначального сопротивления автоматизированным доказательствам теорем со временем большинство математиков все же приняли их. Некоторые даже мечтают о том, что однажды все теоремы будут переведены на универсальный компьютерный язык для проверки доказательств, что позволит создать гигантскую формализованную систему, содержащую все доказуемые математические знания, в которой каждое утверждение строго выводится из совокупности базовых строк компьютерного кода. Когда это произойдет, мы все должны, раздевшись донага, прыгнуть в озеро с криками «Бурбаки!».
Компьютеры изменили ход доказательства теорем. Кроме того, они стали катализатором для формирования новой, захватывающей области математики.
10. Соседи по клеткам
В промозглый лондонский день я отправился на встречу с одним человеком, чтобы поговорить о космических кораблях. Пол Чэпмен сидел на террасе итальянского ресторана в темном пальто, а его панама сияла оранжевым цветом под излучением инфракрасного обогревателя. Темные брови нависали над большими очками без оправы, а лицо заросло взлохмаченной седой бородой. Пол принадлежит к единственной в своем роде группе людей, увлекающихся математической игрой под названием Game of Life («Жизнь»). Ему не терпелось рассказать мне о своем последнем открытии.
«Новость, достойная газетной статьи, — заявил Пол, вынимая из кармана черную записную книжку и разворачивая истрепанный лист бумаги. — Я ношу это с собой повсюду». Игру «Жизнь» изобрел сорок лет назад молодой преподаватель Кембриджского университета Джон Конвей, разработавший законы вымышленной вселенной, согласно которым конфигурации клеток квадратной решетки эволюционируют и мутируют самыми завораживающими и непредсказуемыми способами. Сейчас в этой вселенной существуют такие фигуры, как «фитили», «ружья», «паровозы» и «космические корабли». На листике Пола было изображение космического корабля «Джемини», состоящего почти из миллиона крохотных клеток и представляющего собой одну из самых крупных и сложных фигур, когда-либо построенных в игре «Жизнь». «Джемини» напоминал ромбовидный алмаз, образованный из нескольких «елочных» шаблонов. Пол нетерпеливо показывал на разные фрагменты этого корабля, объясняя, почему он такой особенный. «Джемини» — это первая самовоспроизводящаяся фигура, которая способна построить свою точную копию. Этот космический корабль живой. В конце концов жизнь породила жизнь. «Это удивительно, — воскликнул Пол. — За сорок лет мы еще не видели ничего подобного».
Мысль о том, что математическая квадратная решетка позволяет создать конфигурацию, достойную серьезных размышлений, восходит как минимум к так называемому решету Эратосфена, названному так по имени древнегреческого ученого-энциклопедиста, который, как мы с вами знаем, сделал первую достаточно точную оценку размеров Земли. Решето Эратосфена — это алгоритм поиска простых чисел. Мы начинаем отсчет по возрастанию с 1 и, достигнув первого подходящего числа, удаляем из списка все числа, кратные данному числу. (Этот метод очень похож на подход Джерри Ньюпорта, человека с синдромом гения, о котором шла речь в главе 1.) Первое простое число — 2, поэтому мы должны вычеркнуть из списка все четные числа. Второе простое число — 3, поэтому нам необходимо вычеркнуть все числа, кратные трем. Число четыре уже было вычеркнуто, поскольку оно четное, а значит, следующее простое число — 5 и т. д.
Решето Эратосфена для чисел от 1 до 100 можно представить в виде сетки с шестью рядами, как показано на рисунке ниже. Горизонтальные линии, проведенные по ряду после числа 2, а также по рядам, начинающимся с чисел 4 и 6, вычеркивают все четные числа, а линия после числа 3 — числа, кратные 3. Два набора диагональных линий вычеркивают числа, кратные 5 и 7. Больше никаких линий не нужно, поскольку, если в поисках простых чисел вы просматриваете список до числа n, вам нужно искать числа, кратные простым числам, которые не превосходят значения √n [1]. В данном случае n = 100, поэтому мы можем прекратить поиск чисел, кратных простым, как только доберемся до числа 10.
Решето Эратосфена
Это очень красивая и наглядная решетка, так как она сразу же говорит вам, что все простые числа должны находиться в первом и пятом рядах, а значит, они все либо на единицу больше, либо на единицу меньше числа, кратного 6. Однако самый важный момент, на который необходимо обратить внимание, — это причина, вынуждающая нас отсеивать числа: простые числа не появляются в каком-либо предсказуемом порядке. Если бы мы продолжили строить эту решетку до бесконечности, они были бы разбросаны в случайном порядке по первому и пятому рядам. Тот факт, что простые числа настолько легко найти, но их распределение столь непредсказуемо, — одна из самых ранних и наиболее непостижимых неожиданностей в математике.
