Решето Эратосфена
Это очень красивая и наглядная решетка, так как она сразу же говорит вам, что все простые числа должны находиться в первом и пятом рядах, а значит, они все либо на единицу больше, либо на единицу меньше числа, кратного 6. Однако самый важный момент, на который необходимо обратить внимание, — это причина, вынуждающая нас отсеивать числа: простые числа не появляются в каком-либо предсказуемом порядке. Если бы мы продолжили строить эту решетку до бесконечности, они были бы разбросаны в случайном порядке по первому и пятому рядам. Тот факт, что простые числа настолько легко найти, но их распределение столь непредсказуемо, — одна из самых ранних и наиболее непостижимых неожиданностей в математике.
В 1963 году 54-летний Станислав Улам отвлекся от лекции, на которой присутствовал, и принялся машинально чертить что-то на листе бумаги. Он нарисовал сетку из горизонтальных и вертикальных линий и стал нумеровать образованные путем их пересечения клетки, начав с единицы в центре и двигаясь по спирали. Наверное, ему было действительно скучно, потому что после этого он отметил все простые числа кружочками. Мы знаем, что простые числа не подчиняются очевидной закономерности, так что такого там увидел Улам? Как ни странно, он заметил нечто весьма неожиданное. Простые числа выстраивались вдоль диагональных линий (см. рисунок ниже), создавая рисунок, известный сегодня как спираль Улама. Когда Улам запрограммировал компьютер на построение такой спирали от 1 до 65 000, там тоже образовались диагонали, а также горизонтальные и вертикальные теневые области. Спираль Улама позволяет сделать волнующее предположение о том, что за беспорядочным шумом можно обнаружить музыку.
Улам был одним из польских математиков, которые в 1930-х годах во Львове принимали участие в создании «Шотландской книги». В 1935 году Джон фон Нейман, математик венгерского происхождения из Института перспективных исследований в Принстоне, пригласил Улама в США, куда тот и переехал навсегда в 1939 году. Четыре года спустя фон Нейман сделал Уламу, работавшему тогда в Висконсинском университете, более интригующее предложение: перебраться в Нью-Мексико и присоединиться к нему в работе над неизвестным проектом. Улам взял в университетской библиотеке путеводитель по штату Нью-Мексико и увидел, что до него путеводитель брали его коллеги, которые исчезли куда-то без всяких объяснений. Выяснив, в каких областях они работали, он понял, что именно его просят сделать.
Так Улам присоединился к Манхэттенскому проекту в Лос-Аламосе, где сыграл ключевую роль в разработке термоядерного оружия, а также создал новый раздел математики. Он понял, что если поведение физической системы является слишком сложным, то для того, чтобы его прогнозировать, нужно предоставить компьютеру возможность сделать множество случайных оценок, а затем получить более точные показатели с помощью статистических методов. Во время одной из поездок на автомобиле Улам объяснил этот метод фон Нейману; тогда и было придумано для него название — «метод Монте-Карло». Например, для того чтобы определить вероятность того, что шарик рулетки остановится на черном, игроку не нужно решать уравнение — он может просто подсчитать, сколько раз шарик выпадает на черное после сотен случайных бросков. В настоящее время метод Монте-Карло является ключевым инструментом во многих областях науки. Но когда в Лос-Аламосе у Станислава Улама появлялось свободное время, он отдыхал, изобретая игры с одним участником, основанные на создании шаблонов из ячеек решетки. Изменение правил создания таких шаблонов позволяло строить фигуры, которые могли разрастаться и меняться весьма необычными способами.
Спирали Улама: числа от 1 до 100 (вверху) и от 1 до 65 000 (внизу)
Улам и фон Нейман были близкими друзьями, эмигрантами из Восточной Европы, выходцами из верхушки среднего класса с еврейскими корнями. Оба очутились в одинаковой политической ситуации, и оба обладали выдающимся интеллектом. Фон Неймана принято считать математиком, оказавшим заметное влияние на формирование облика современного мира: он один из создателей компьютеров, ядерной бомбы и теории игр (математики принятия решений). Личностные качества фон Неймана соответствовали его математическим достижениям. В Принстоне он славился как устроитель крупных вечеринок, во время которых часто удалялся в свой кабинет, потому что любил работать под шум таких гуляний.
Фон Нейман был очарован и одновременно напуган потенциальными последствиями, которые могли повлечь за собой создаваемые им машины. В период, наступивший после Второй мировой войны, в фантастических романах и голливудских фильмах изображалось будущее, где роботы захватили мир. Фон Нейман хотел выяснить, что понадобится машине, чтобы воспроизвести себя. Он провел мысленный эксперимент с участием плавающего в озере робота с глазом и механической рукой, умеющей брать необходимые комплектующие и строить новую версию себя. Однако этот эксперимент застопорился из-за механических осложнений. Улам выдвинул предположение, что, для того чтобы сосредоточиться исключительно на логических аспектах самовоспроизведения, вместо работы с реальной машиной фон Нейману следует проанализировать фигуры, образующиеся на решетке ячеек, как в пасьянсах, которые он раскладывал в Лос-Аламосе. В процессе обсуждения этой задачи двое ученых изобрели новую математическую концепцию — «клеточный автомат». По сути, это разграфленная на клетки поверхность, в которой поведение каждой клетки зависит только от состояния соседних клеток. Фон Нейман разработал клеточный автомат, в котором каждая клетка находилась в одном из 29 состояний, и придумал правила, призванные обеспечить самовоспроизведение исходного шаблона, состоящего из 200 000 клеток. Клеточные автоматы не привлекали к себе особого академического интереса до тех пор, пока на них не обратил внимание британский математик с еще более игривым разумом, чем у Улама.
В 1960-х годах комната отдыха математического факультета Кембриджского университета напоминала группу продленного дня в школе. Преподаватели и студенты постоянно играли там в настольные игры и придумывали новые. Идей было так много, что один преподаватель даже вел файл под названием Games Without Names («Игры без названий») и сопутствующий файл — Names Without Games («Названия без игр») [2]. В этой среде процветал Джон Конвей, ливерпульский фанатик игры в нарды и восходящая звезда математики. Одним из изобретений Конвея был клеточный автомат на квадратной сетке, которому он дал имя Game of Life («Игра “Жизнь”»). Однако слово «игра» не совсем соответствовало его сути, поскольку там не было победителей, проигравших и даже игроков. Игра «Жизнь» представляла собой двумерную вселенную, подчиняющуюся четырем законам. Смысл игры состоял в том, чтобы построить исходную конфигурацию, или первоначальный шаблон, а затем наблюдать за тем, как он эволюционирует.
В игре «Жизнь» клетка является либо живой, либо мертвой и подчиняется следующим правилам.
Рождение: мертвая клетка, имеющая ровно три живые соседние клетки, становится живой.
Выживание: живая клетка, имеющая две или три живые соседние клетки, продолжает жить.
Смерть от одиночества: живая клетка, у которой нет по соседству живых клеток или есть только одна такая клетка, умирает.
Смерть от перенаселенности: живая клетка с четырьмя или более соседними клетками умирает.
Примечание. У каждой клетки есть восемь соседей; к их числу относятся четыре смежные клетки и четыре клетки, с которыми она соприкасается по диагоналям в углах. Перечисленные выше законы применяются по отношению ко всем клеткам одновременно, и каждый раз, когда это происходит, появляется новое поколение клеток.
Вот и все. Больше в игре «Жизнь» делать нечего.
Конвей сформулировал правила рождения, смерти и выживания таким образом, чтобы шаблоны не погибали и не эволюционировали слишком быстро, но чтобы их поведение было как можно интереснее. Представьте себе одну живую клетку. Она умирает от одиночества в следующем поколении. Точно так же шаблон, состоящий из двух соседних клеток, погибает после смены поколения. Однако, когда мы начнем рассматривать фигуры, состоящие из трех живых клеток, эти организмы окажутся достаточно жизнеспособными, чтобы выжить — во всяком случае, на какое-то время. На представленном ниже рисунке показано, что происходит с конфигурацией клеток в виде шеврона, состоящей из трех живых клеток. (Живые клетки черные, мертвые — белые.) У двух живых клеток в основании шеврона есть только по одной живой соседней клетке, а значит, они умрут, когда мы применим к ним перечисленные выше законы. У живой клетки на вершине есть две живые соседние клетки, поэтому она выживает, а у мертвой клетки посредине три живые клетки по соседству, поэтому она становится живой. То есть в следующем поколении шеврон превращается в столбец из двух живых клеток, а еще в одном погибает.
