Доказательство. Так как все может быть в определенном
состоянии лишь с помощью бога (по т. 12, ч. I), а бог
238
в своих делах в высшей степени постоянен (по кор. к т. 20, ч. I), то,
если не обращать внимания ни на какие внешние, т.е. особенные,
причины, а рассматривать вещь самое по себе, следует утверждать,
что она всегда будет оставаться в своем настоящем состоянии, что и
требовалось доказать.
Королларий. Тело, раз пришедшее в движение, продолжает вечно
двигаться, если не задерживается внешними причинами.
Доказательство. Это очевидно из предыдущей теоремы. Но,
чтобы исправить ложные представления о движении, прочти § 37
и 38, ч. II «Начал философии» Декарта.
Теорема 15
Всякое движущееся тело само по себе стремится двигаться по
прямой линии, а не по кривой.
Эту теорему следовало бы считать аксиомой, но я докажу ее из
предыдущего.
Доказательство. Так как движение имеет причиной только бога
(по т. 12, ч. II), то само по себе оно не имеет никакой силы
существования (по акс. 10, ч. I), но в каждое мгновение как бы вновь
создается богом (по доказанному в той же аксиоме). Поэтому, пока
обращается внимание на одну только природу движения, никогда
нельзя приписать ему такой, зависящей только от его природы,
длительности, которая могла бы быть представлена больше другой.
Если же сказать, что природа движущегося тела требует, чтобы оно
описывало своим движением кривую линию, то надо приписать
природе движения большую длительность, чем при допущении, что
природа движущегося тела требует продолжения его движения по
прямой линии (по акс. 17). Но так как (по доказанному) мы не можем
приписать природе движения такой длительности, то нельзя также
приписать ее природе движения по кривой, но только по прямой
линии, что и требовалось доказать.
Схолия. Это доказательство для многих, может быть, покажется
доказывающим только то, что природе движения одинаково
свойственно описывать как кривую, так и прямую линию; и ото
потому, что нельзя указать никакой прямой линии, менее которой но
была бы возможна другая прямая или кривая линия, и никакой
кривой,
239
в сравнении с которой но было бы другой менее кривой. Но и в этом
отношении я считаю доказательство правильно построенным, так как
оно выводит доказываемое из одной всеобщей сущности, т.е. из
существенного различия линий, а не из какой-либо величины или
случайного их различия. Но, чтобы в результате доказательства не
сделать более темными вещи сами по себе ясные, я отсылаю
читателей к самому определению движения, которое не утверждает о
движении ничего, кроме того, что оно есть перенесение части
материи из соседства одних в соседство других и пр. Если мы не
представим этого перенесения простейшим, т.е. по прямой линии, то
мы должны присоединить к движению нечто, не содержащееся в его
определении или сущности и потому не принадлежащее к его
природе.
Королларий. Из этой теоремы следует, что всякое тело,
движущееся по кривой, постоянно отклоняется от линии, по которой
оно двигалось бы само по себе, а именно в силу какой-либо внешней
причины (по т. 14, ч. II).
Теорема 16
Всякое тело, движущееся по кругу, как, например, камень в
праще, постоянно определяется к движению в направлении
касательной.
Доказательство. Тело, движущееся по кругу, постоянно
удерживается внешней силой от дальнейшего движения по прямой
линии (по предыдущему королларию), а если эта сила прекращается,
то тело само по себе начинает двигаться по прямой (по т. 15). Я
говорю далее, что тело, движущееся по кругу, определяется внешней
причиной к дальнейшему движению в направлении касательной.
Оспаривая это, надо предположить, что, например, камень пращи в B
определяется не в направлении касательной BD, но в другом
направлении, которое представляется от этой точки внутри или вне
круга, например по BF, когда праща представляется идущей из части
L к В, или по ВС (о которой я предполагаю, что она образует с
диаметром ВН угол, равный FBH), когда предполагается обратное
движение пращи от С к В. Если же предположить, что в точке В
камень пращи, движущейся по кругу от L к В, определяется к
дальнейшему движению к F, то при дви-
240
женил пращи в обратном направлении от С к В камень необходимо
должен (по акс. 18) продолжать движение в направлении,
противоположном линии BF, и потому будет
стремиться к K, а не к С, что противно
допущению. Но так как * кроме касательной
через точку В нельзя провести линии,
образующей с линией Н с обеих сторон
равные углы, подобно DBH и АВH, то лишь
одна касательная в состоянии не
противоречить одному и тому же
допущению, как бы ни двигалась праща, от
L к В или от С к В, и, следовательно, можно
принять лишь касательную как линию, по
которой камень стремится двигаться, что и требовалось доказать.
Другое доказательство. Возьмем вместо круга шестиугольник,
вписанный в круг АВН, и пусть тело С на одной стороне АВ
находится в покое, затем представим себе
линейку DBE (один конец которой укреплен в
центре D, а другой подвижен), которая
движется вокруг центра и притом постоянно
пересекает линию АВ. Очевидно, что при
таком движении линейки DBE она встретит
тело С в то мгновение, когда она пересечет
линию АВ под прямым углом, и что своим
толчком она заставит тело С двигаться по
прямой линии FBAC по направлению к С, т.е.
по стороне АВ, продолженной в бесконечность.
Но мы взяли здесь шестиугольник совершенно
произвольно, то же верно и для всякой иной фигуры, которую можно
себе представить вписанной в круг. Именно, если тело С,
находящееся в покое на одной стороне фигуры, получит толчок от
линейки DBE в то мгновение, когда она пересекает эту сторону под
прямым углом, то тело будет приведено
__________________
* Это очевидно из т. 18 и 19, кн. III «Элементов» Эвклида,
241
линейкой в движение по направлению этой стороны, продолженной в
бесконечность. Поэтому если вместо шестиугольника представим
себе прямолинейную фигуру с бесконечным числом сторон (т.е. круг,
по определению Архимеда), то очевидно, что линейка DBE, где бы
она ни встретила тело, всегда встретит его в то время, когда она
пересечет одну сторону такой фигуры под прямым углом. Поэтому
она никогда не встретит тела С, не приведя его одновременно в
движение в направлении линии, продолженной в бесконечность. Но
так как всякая сторона, продолженная по обоим направлениям, всегда
должна пройти вне фигуры, то такая неопределенно продолженная
сторона фигуры с бесконечным числом сторон, т.е. круга, будет
всегда касательной. Если же представить себе вместо линейки пращу,
движущуюся в круге, то она постоянно будет приводить камень в
движение в направлении касательной, что и требовалось доказать.
Следует заметить, что оба доказательства можно отнести к
любой криволинейной фигуре.
Теорема 17
Всякое тело, движущееся по кругу, стремится удалиться от
центра круга, который оно описывает.
Доказательство. Пока тело движется по кругу, оно приводится в
движение внешней причиной, с прекращением которой оно
продолжает двигаться в направлении
касательной (по предыдущей теореме),
все точки которой, кроме той, где она
касается круга, лежат вне круга (по т. 16,
кн. II «Элементов» Эвклида) и потому
дальше отстоят от него. Поэтому камень,
находящийся в праще ЕА и движущийся
по кругу, когда он находится в точке А,
стремится двигаться по прямой, все
точки которой отстоят от центра Е
дальше, чем все точки окружности LAB,
