С того самого времени, когда Лебег в своём знаменитом мемуаре 1905 г. провозгласил, что в математике фактически не существует множеств, кроме борелевских, вопрос об их мощности воспринимался как один из центральных во всей теории множеств и его решение рассматривалось как большое открытие. На мой доклад 13 октября 1915 г. в студенческом математическом кружке пришли даже такие маститые профессора как Л. К. Лахтин и Б. К. Млодзеевский. Были на моём докладе Д. Ф. Егоров и Н. Н. Лузин, а также и все молодые математики, начиная с В. В. Степанова и И. И. Привалова и все интересующиеся математикой наши студенты. Среди них был и П. С. Урысон, только что поступивший в университет. С ним я тогда впервые познакомился. Впервые я познакомился в этот день и с В. К. Серпинским. Он уже находился тогда в Москве и тоже пришёл на мой доклад в студенческом математическом кружке. Суслина я в эту осень увидел впервые тоже на своём докладе. Естественно, что как только мы наконец встретились, я рассказал ему во всех подробностях о своих результатах. Мы стали без конца говорить о связанных с ними вопросах. Часто в наших разговорах принимал участие и В. В. Степанов, всегда живо откликавшийся на всё, что происходило в тогдашней московской математике. Тогда же именно Суслин предложил назвать новую построенную мною теоретико-множественную операцию А-операцией, а множества, получающиеся её применением к замкнутым множествам, А-множествами. Он подчеркнул при этом, что предлагает эту терминологию в мою честь по аналогии с борелевскими множествами, которые уже тогда стало принято называть В-множествами.
Эта касающаяся меня терминологическая деталь была по живым следам отмечена в статьях М. А. Лаврентьева и Л. А. Люстерника, посвящённых истории Московской математической школы, а позже и в статье Л. В. Келдыш. Мне этот вопрос о моём приоритете в данном случае никогда не был безразличен, ведь он касался моего первого и (может быть, именно поэтому) самого дорогого мне результата.
Много лет спустя Н. Н. Лузин стал называть A-множества аналитическими множествами и стал, вопреки хорошо известным ему фактам, утверждать, что термин A-множество есть лишь сокращение от «аналитические множество». Но к этому времени мои личные отношения с Н. Н. Лузиным, когда-то глубокие и проникновенные, были, по существу, утрачены.
Как только было доказано, что всякое B-множество является A-множеством, естественно возник вопрос, не является ли обратно всякое A-множествоB-множеством. Именно об этом вопросе и шла, конечно, речь в беседах, которые тогда велись в Москве в связи с моей работой. Легко было доказать, что всякое A-множество есть пересечение B-множеств, взятых в числе 1א, или что всякое множество, дополнительное к A-множеству, есть сумма 1א борелевских слагаемых. Это знали и я, и Суслин и, конечно, Н. Н. Лузин. Весь вопрос был в том, не обрывается ли этот процесс трансфинитного суммирования уже на счётном шаге. Я посвятил всю зиму 1915–1916 гг. и всё следующее лето доказательству того, что этот обрыв действительно происходит. Мои чрезвычайно упорные размышления прекратились только тогда, когда ранней осенью 1916 г. стало известным, что Суслин этим же летом построил пример А-множества, не являющегося В-множеством и этим открыл новый этап в развитии всей дескриптивной теории множеств.
Когда Урысон и я летом 1924 г. были у Хаусдорфа и говорили с ним много, в частности, и о дескриптивной теории множеств, Хаусдорф в упор задал нам вопрос: как же надо называть новые множества, которые Лузин всюду пропагандирует под названием аналитических? Я твёрдо ответил Хаусдорфу, что Суслин (уже умерший почти 5 лет назад) был первым математиком,
В январе 1917 г. в Comptes Rendus Парижской Академии наук была опубликована отредактированная Н. Н. Лузиным и переведённая им на французский язык заметка Суслина, в которой излагались его замечательный пример А-множества, не являющегося борелевским, а также основные теоремы теории А-множеств. Заметка имеет непонятное заглавие «Определение борелевских множеств без трансфинитных чисел». Это заглавие было бы уместно, если бы Суслин доказывал совпадение классов A- и B-множеств, а не наоборот, различие этих классов.
Зиму 1915–1916 гг. мы с Сашей Богдановым прожили вместе, снимая комнату со столом в Хлебном переулке. К весне студентов начали призывать и направлять в военные училища, имея в виду последующее по окончании училища производство в офицеры. В военное училище поступил и Саша. Окончив его в начале 1917 г. он офицером был отправлен в воинскую часть — сначала пехотную, но скоро был переведён в артиллерийскую часть, расквартированную в маленьком городке Новгород-Северске Черниговской губернии. Что касается меня, то после проведённого в Михееве лета 1916 г. я поселился у своего брата Михаила Сергеевича, у которого прожил до конца 1917 г., лишь на лето уезжая в Михеево.
В самом конце 1917 г. я переселился от брата на Зацепу, где мне удалось снять хорошую комнату с полным пансионом в семье железнодорожников. В то время уже начавшихся продовольственных затруднений это было большой удачей. Всю эту зиму я преподавал в двух женских гимназиях: в гимназии С. Н. Фишер, помещавшейся в одном из переулков Остоженки (ныне Метростроевская) и в гимназии Винклер на Чистых прудах. Мои уроки в обеих этих гимназиях имели такое расписание, что заполняли 4 дня в неделю. В эти дни я с раннего утра отправлялся пешком (трамваи практически не ходили) сначала по улице Садовники (теперь улица Осипенко) через Устьинский мост на Чистопрудный бульвар в гимназию Винклер. Дав там свои уроки, я далее отправлялся (тоже, конечно, пешком) по Мясницкой (ныне улица Кирова) через центр Москвы и далее на Остоженку в гимназию Фишер. После занятий я шёл по Крымскому валу и Замоскворецкой части Садового кольца к себе на Зацепу. Домой я возвращался только к вечеру и вечером иногда ещё давал частный урок у себя дома. Остаток вечера я занимался только чтением «Войны и мира» и прочитал всю эту книгу с начала до конца с большим увлечением.
В качестве научной проблемы для размышлений Н. Н. Лузин поставил передо мною не более и не менее как континуум-проблему в её общей формулировке. Я стал думать над ней все имевшиеся для математических занятий три дня в неделю. Я сформулировал для себя следующую аксиому, казавшуюся мне несомненно верной: каждому трансфинитному числу α можно поставить в соответствие такое число μ(α) < α, что различным α всегда соответствуют различные μ(α). Приняв эту аксиому, я получил, как мне кажется, совершенно аккуратное доказательство того, что мощность континуума равна мощности 1א. У меня не было и нет оснований сомневаться, что все рассуждения, сводящие континуум-проблему к моей аксиоме, были правильными. Записав с полной тщательностью своё доказательство (оно заняло целую довольно толстую тетрадь), я стал думать об утверждении, принятом мною за аксиому. Через несколько дней этих размышлений я убедился в том, чтофункции μ(α) заведомо не может существовать. Полученное мною (на этот раз уже верное) предложение было впоследствии мною даже опубликовано в виде дополнительного замечания к совместному с П. С. Урысоном мемуару «О компактных топологических пространствах». Это предложение о трансфинитных числах разными авторами усиливалось и вошло, например, в известный учебник Бахмана.
Мне стало ясно, однако, что моя работа над континуум-проблемой кончилась тяжёлой катастрофой. Я почувствовал также, что уже не могу перейти в математике, так сказать, к очередным делам, и что в моей жизни должен наступить какой-то решительный перелом. В это время я получил письмо от Саши Богданова, приглашавшее меня приехать в Новгород-Северск, где он остался после демобилизации той воинской части, в которой он служил. Терять мне было нечего и я принял приглашение Саши Богданова.
В Новгород-Северске Саша Богданов сразу же ввёл меня в семейство Ассинг, в котором сам чувствовал себя как дома. Семейство это состояло из двух сестёр лет пятидесяти и немногим более молодого женатого брата. Из сестёр Ассинг одна была хорошим врачом, лучшим представителем своей профессии в городе, другая была увлечённым педагогом дошкольного воспитания и руководила детским садом. Брат, Анатолий Анатольевич Ассинг, был типичным чеховским интеллигентом из разорившихся (да и всегда не очень богатых) дворян, человеком без определённой профессии. В последнее время он занимался фотографией, причём преимущественно цветной, находившейся тогда в зачаточном состоянии. Однако подлинным и притом действительно горячим увлечением Анатолия Анатольевича, заполнявшим всю его не очень устроенную жизнь, был театр. У А. А. Ассинга было много знакомых среди артистов московских Художественного и Камерного театров. Знакомства эти сложились у него ещё смолоду, до революции. Среди артистических знакомых Ассинга надо прежде всего назвать крупного артиста Художественного театра Илью Матвеевича Уралова, бывшего в течение многих лет в Художественном театре бессменным исполнителем роли городничего в гоголевском «Ревизоре». Уралов был сам родом из Новгород-Северска и в 1918 г. жил там. Из артистов-художественников хорошим знакомым А. А. Ассинга был и Н. Г. Александров, а из артистов Камерного театра особенно Церетели. Они и другие артисты обоих названных театров были частыми гостями дома Ассингов в предреволюционные годы и в первые годы после Октябрьской революции. В частности, летом 1918 г. я познакомился у Ассингов в Новгород-Северске с руководителем Камерного театра Александром Яковлевичем Таировым. При таких условиях любительский театр Ассинга, не имел недостатка в консультантах, да и в хороших артистах — гастролерах. Вскоре после моего приезда в Новгород-Северск летом 1918 г. я застал в ассинговском театре постановку «Ревизора» с Ураловым в роли городничего, женой Уралова (тоже профессиональной актрисой) в роли Анны Андреевны и Сашей Богдановым в роли Хлестакова. У Саши были несомненные артистические способности и (как считал, в частности, такой авторитетный судья как И. М. Уралов) Хлестакова Саша сыграл превосходно. Впоследствии ему пришлось играть Алешу Карамазова в постановке «Братьев Карамазовых» артистами Художественного театра. Я никогда не имел ни артистических способностей, ни склонностей; но я пробовал свои силы на режиссёрском поприще и моим высшим достижением на нём стала постановка «Привидений» Ибсена, которые я после этого всю жизнь знал почти наизусть. Но «Привидения» я ставил уже в Чернигове.
