он.
— Я бы сыграл, хотя у меня одна медь в карманах, — сказал солдат Аш.
— Будем играть медью, — сказал мастер, и они перебрались на корму лодки. Фа четвертый присоединился. А отшельник Хо (чернобородый) направился в каюту, где спал Хо рыжебородый, завернувшись в зеленое одеяло из верблюжьей шерсти.
Эф и Ю остались одни, и оказались совсем близко друг к другу.
Эф третий и человек Ю оказались одни на носу лодки и оказались совсем близко друг к другу.
Третий хотел что-нибудь сказать, а лучше — сделать, но промолчал и сидел,сложа руки.
Человек Ю сидел у левого борта почти напротив третьего. В какой-то момент он откинулся спиною назад в высокий борт, словно в кресло. То же сделал и третий — одновременно, как бы в зеркальном отражении воспроизводя движение тела человека. Так бывает, что двое чихнут одновременно, моргнут или еще что-нибудь. Кажется, лодка качнулась в тот момент, когда третий коснулся досок борта лопатками. Он почувствовал легкое головокружение, на миг потеряв ощущение своего тела. Что-то сместилось вокруг. Теперь он словно чувствовал поверх своего лица, как маску, круглое лицо человека Ю, его брови и скулы. Это должно было быть обманом чувств, но он видел — действительно видел — то, что должны были видеть глаза человека Ю, то есть ближний берег озера, к которому сам он сидел спиной, — песок, деревья и камни. Этот простой пейзаж был необыкновенно красив, словно освещенный каким-то новым, идущим извне, светом.
Лодку еще раз качнуло. Третий очнулся. Он посмотрел по ходу вперед и увидел черный выступающий из воды камень, хотя знал, что камня не может быть в глубокой воде.
Третий крикнул, привлекая внимание тех, кто был на корме. Препятствие заметили, игру в кости прервали. Фа взялся за рычаг руля, солдат повернул парус. Большое черное бревно — совсем не камень — прошло мимо борта. Вдоль бревна тянулась надпись пляшущими в волнах буквами, и каждый что-то прочел — кто глядя в упор, а кто — провожая взглядом.
«Здесь поворачивают направо», — прочел Эф третий на черном бревне, один конец которого тонул в волнах, а другой — поднимался.
«Правой дорогой идите, товарищи», — громко прочитал Фа четвертый.
«Пойдешь направо, песнь заводишь», — неуверенно пробормотал Бе пятый.
«Правый поворот, что он нам несет», — пропел человек Ю.
«Право руля», — скомандовал солдат, и тут же исполнил.
«И где в таком случае правда?» — произнес отшельник Хо, провожая взглядом бревно, черный конец которого то исчезал в волнах, то показывался.
— Возникает вопрос, — говорил пятый, — сколько форм существует у кубика, то есть форм настолько симметричных, что для каждых двух выбранных граней кубика его можно было повернуть таким образом, чтобы в новом положении он полностью совместился бы с самим собой, при этом первая из выбранных граней совместилась бы со второй. Таким образом все грани кубика оказались бы в определенном смысле равноправными, что служит залогом к тому, чтобы частота выпадения одной из них не опережала частоту выпадения другой. По моему мнению, именно это равноправие граней позволяет называть многогранник кубиком.
Перечисляя эти формы, во-первых назовем пять правильных многогранников: четырехгранник, шестигранник — уже нам знакомый, восьмигранник, двенадцатигранник и двадцатигранник. — Пятый раскрыл одну из своих тетрадей и показал рисунок.
Во-вторых, это многогранники, образованные двумя одинаковыми пирамидами, которые совмещены основаниями, — продолжал пятый. — Таким способом могут быть получены кубики с любым четным числом граней, большим шести. Кстати, уже известный нам правильный восьмигранник может быть отнесен к этому типу.
Теперь, если у описанного только что многогранника мы слегка повернем составляющие его пирамидки одну относительно другой и определенным образом отрегулируем граничную линию между пирамидками, то получим кубик, составленный как бы из двух розеток. Его гранями уже будут не треугольники, как в предыдущем случае, а четырехугольники. Примером такого кубика является наш старый знакомый — шестигранный кубик, который можем разложить на две розетки, каждая из трех четырехугольников-квадратов.
Остальные формы кубиков можно получить из правильных многогранников. Для этого мы сперва каждую грань разбиваем на одинаковые и симметрично расположенные части — треугольники или четырехугольники. Это можно сделать, проводя из центра грани линии к ее углам (первый вариант) либо к серединам сторон (второй вариант). Третий вариант получится при совмещении первых двух.
Далее назначим центры граней исходного многогранника (а также середины его ребер в случае второго и третьего из рассмотренных вариантов) дополнительными вершинами нового кубика. Для придания телу этого кубика необходимой выпуклости приподнимем эти вершины над их первоначальным местом, представив, что ребра нового кубика (то есть проведенные нами линии, точнее — отрезки линий), которые сходятся в этих вершинах, потянутся, так сказать, за ними. Вершины исходного многогранника остаются, разумеется, на своем месте.
Замечу, что я рисовал простыми линиями и не клал штриховку на грани, поэтому на некоторых рисунках создается ощущение того, что выступающие вершины и ребра чередуются с утопленными, то есть получается как бы звездчатый многогранник. Иногда трудно избавиться от этого ощущения. Но на самом деле все многогранники выпуклые, это понятно.
Проводя эти операции по трем возможным вариантам, мы получим:
- из четырехгранника — кубик с 12 треугольными гранями, кубик с 12 четырехугольными гранями и кубик с 24 треугольными гранями;
- из нашего знакомого шестигранника — кубик с 24 треугольными гранями, кубик с 24 четырехугольными гранями и кубик с 48 треугольными гранями;
- из восьмигранника — кубик с 24 треугольными гранями, кубик с 24 четырехугольными гранями и кубик с 48 треугольными гранями (при этом последние два кубика — это те же самые, которые были получены на основе шестигранника);
-из двенадцатигранника — кубик с 60 треугольными гранями, кубик с 60 четырехугольными гранями и кубик с 120 треугольными гранями;
- из двадцатигранника — кубик с 60 треугольными гранями, кубик с 60 четырехугольными гранями и кубик с 120 треугольными гранями (при этом последние два кубика — те же самые, которые были получены на основе двенадцатигранника).
Итого вместе с первоначальными пятью правильными многогранниками получается 16 кубиков различной формы (двойные пирамидки и двойные розетки, которые бесконечны числом, считать не будем). Однако один нерешенный вопрос меня беспокоит: исчерпывается ли число возможных типов кубиков этим
