В конце концов, я пришел к Пуанкаре. Здесь снова наблюдалось немножко повторения, но открылось и совершенно иное явление. Федр следует по длинной и извилистой тропе к высочайшим абстракциям, потом, кажется, готов спуститься вниз, как вдруг останавливается. Пуанкаре начинает с наиболее основных научных истин, разрабатывает их до тех же самых абстракций и потом останавливается. Оба следа прекращаются у самых окончаний друг друга! Меж ними существует совершенная непрерывность. Когда живешь в тени безумия, появление другого ума, говорящего и думающего так же, как и твой, — что-то близкое к благословению божьему. Будто Робинзон Крузо нашел следы на песке.
Пуанкаре жил с 1854 по 1912 годы и работал профессором Парижского Университета. Своими бородой и пенсне он напоминал Анри Тулуз-Лотрека, жившего в Париже в то же самое время и бывшего всего на десять лет моложе.
В течение жизни Пуанкаре начался удручающе глубокий кризис основ точных наук. Многие годы научная истина была вне возможности сомнения; логика науки была непогрешимой, а если ученые иногда и ошибались, то предполагалось, что это — результат их недопонимания ее правил. На все великие вопросы уже дали ответы. Миссия науки теперь заключалась в том, чтобы просто оттачивать эти ответы до все большей и большей точности. Правда, существовали еще необъясненные пока явления — радиоактивность, прохождение света сквозь «эфир» и странные взаимоотношения магнитных и электрических сил; но и они, если каким-либо свидетельством могли служить прошлые прецеденты, должны были неминуемо пасть. Едва ли кто-либо догадывался, что через несколько десятилетий больше не будет абсолютного пространства, абсолютного времени, абсолютной материи или даже абсолютной величины; классическая физика, научная «твердыня вечная», станет «приблизительной»; самый трезвый и самый уважаемый из астрономов будет говорить человечеству, что если бы он достаточно долго смотрел в достаточно мощный телескоп, то все, что он бы увидел, оказалось бы его собственным затылком!
Основание основосокрущающей Теории Относительности пока понималось очень немногими, из которых одним был Пуанкаре, как самый выдающийся математик своего времени.
В своих «Основах Науки» Пуанкаре объяснял, что предпосылки кризиса основ науки очень стары. Долго и безрезультатно добивались, говорил он, демонстрации аксиомы, известной как пятый постулат Эвклида, и этот поиск стал началом кризиса. Постулат Эвклида о параллельных, утверждающий, что через данную точку нельзя провести больше одной линии, параллельной данной прямой, мы обычно изучаем в курсе школьной геометрии. Это один из основных блоков, на которых строится вся математика геометрии.
Все остальные аксиомы казались слишком очевидными для того, чтобы подвергать их сомнению, а эта — нет. И все же от нее невозможно было избавиться, не уничтожив огромных порций математики, и никто, казалось, не мог сократить ее до чего-то более элементарного. Какие огромные усилия потратили впустую в этой химерической надежде, в действительности, трудно вообразить, говорил Пуанкаре.
Наконец, в первой четверти девятнадцатого века и почти в одно и то же время венгр и русский — Боляи и Лобачевский — неопровержимо установили, что доказательство пятого постулата Эвклида невозможно. Они размышляли так: если бы существовал способ свести постулат Эвклида к другим, более определенным аксиомам, то станет заметным другой эффект — полное изменение постулата Эвклида создаст логические противоречия в геометрии. Вот они и изменили его на противоположный.
Лобачевский в самом начале допускает, что через данную точку можно провести две параллели к данной прямой. И, кроме этого, сохраняет все остальные аксиомы Эвклида. Из этих гипотез он выводит серию теорем, среди которых невозможно найти никаких противоречий, и выстраивает геометрию, безупречная логика которой ни в чем не уступает логике эвклидовой геометрии.
Таким образом, своей неспособностью найти какие-либо противоречия он доказывает, что пятый постулат несводим к более простым аксиомам.
Но не доказательство тревожило. Его же собственный рациональный побочный продукт вскоре затмил и его, и все остальное в области математики. Математика, краеугольный камень научной определенности, внезапно стала неопределенной.
Теперь у нас имелось два противоречащих видения непоколебимой научной истины, истинной для всех людей во все времена, безотносительно их личных пристрастий.
Вот что послужило основой глубокого кризиса, разбившего научное самодовольство Позолочевного Века. Откуда нам узнать, какая из этих геометрий верна? Если не существует основания для различения их, то тогда имеется только вся математика, допускающая логические противоречия.
Но математика, допускающая внутренние логические противоречия, — вообще не математика. Конечное действие неэвклидовых геометрий становится не большим, чем бессмысленной бредятиной колдуна, вера в которую поддерживается исключительно самой верой!
И, разумеется, раз такие двери открылись, едва ли можно было ожидать, что число противоречащих систем непоколебимой научной истины ограничится двумя. Появился немец по фамилии Риманн с еще одной непоколебимой системой геометрии, которая швыряет за борт не только постулат Эвклида, но и первую аксиому, утверждающую, что только одна прямая может быть проведена через две точки. Снова внутреннего противоречия нет, есть только лишь несовместимость с геометриями как Эвклида, так и Лобачевского.
В соответствии с Теорией Относительности, геометрия Риманна наилучшим образом описывает мир, в котором мы живем.
У Три-Форкс дорога врезается в узкий каньон в скалах, покрытых беловатым налетом, и проходит мимо пещер Льюиса и Кларка. К востоку от Бьютта мы преодолеваем долгий и трудный подъем, пересекаем Континентальный Раздел и спускаемся в долину. Затем минуем огромную трубу плавильного завода в Анаконде, заворачиваем в сам городок и находим хороший ресторан со стейками и кофе. Мы долго поднимаемся по дороге, которая ведет к озеру, окруженному хвойными лесами, и по солнцу я определяю, что утро уже почти кончилось.
Мы проезжаем через Филлипсбёрг и выбираемся на заливные луга. Встречный ветер здесь более порывистый, поэтому, чтобы немножко погасить его, я сбавляю скорость до пятидесяти пяти. Проезжаем сквозь Мэксвилл, и к тому времени, как добираемся до Холла, нам уже очень нужно хорошо отдохнуть.
Рядом с дорогой находим церковный двор и останавливаемся. Поднялся сильный ветер и стало зябко, но солнце согревает, и мы кладем шлемы и расстилаем куртки с подветренной стороны церкви. Здесь очень открыто и одиноко, но прекрасно. Когда вдалеке есть горы или хотя бы холмы, есть пространство. Крис утыкается лицом в куртку и пытается заснуть.
Теперь, без Сазерлендов, все по-другому — так одиноко. Если ты меня извинишь, я просто еще немного продолжу свое Шатокуа, пока одиночество не пройдет.
Для того, чтобы разрешить проблему, чем является математическая истина, говорил Пуанкаре, нам следует сначала спросить себя, какова природа геометрических аксиом. Являются ли они синтетическими априорными суждениями, как говорил Кант? То есть, существуют ли они как закрепленная часть человеческого сознания, независимые от опыта и несозданные опытом? Пуанкаре считал, что нет. Они бы тогда обложили нас с такой силой, что мы не могли бы ни вообразить противоположного предположения, ни построить на нем теоретическую доктрину. Тогда бы не появилось неэвклидовой геометрии.
Следует ли, значит, заключить, что аксиомы геометрии — экспериментальные истины? Пуанкаре и так тоже не считал. Они бы тогда подвергались непрерывному изменению и пересмотру по мере поступления новых лабораторных данных. А это, по всей видимости, противоречит всей природе самой геометрии.
Пуанкаре сделал вывод, что аксиомы геометрии — условности, и наш выбор из всех возможных условностей направляется экспериментальными фактами, но остается свободным и ограничивается только необходимостью избегать всяческого противоречия. Таким образом, постулаты могут оставаться строго истинными, даже если экспериментальные законы, которые определяли их приятие, всего лишь приближенны. Аксиомы геометрии, другими словами, — простые замаскированные определения.
Тогда, определив природу геометрических аксиом, он обратился к вопросу: какая геометрия истинна — Эвклида или Риманна?
И ответил: Вопрос лишен смысла.
С таким же успехом можно спросить: является ли метрическая система мер истинной, а система «эвердьюпойс»[17] — ложной? является ли картезианская система координат истинной, а полярная — ложной? Одна геометрия не может быть более истинной, чем другая. Она может быть только более удобной. Геометрия не истинна, она выгодна.
