Предположим, что с помощью метода максимального правдоподобия была получена оценка
вектора неизвестных параметров модели φ. Обозначим через
максимальное значение логарифмической функции правдоподобия эконометрической модели.
Тогда критерий Акайка можно будет представить в виде:
где h – размерность вектора неизвестных параметров модели φ.
Для линейной или нелинейной модели регрессии, включающей только одно уравнение, критерий Акайка может быть преобразован к виду:
где n – объём выборочной совокупности;
– оценка максимального правдоподобия дисперсии остатков etмодели регрессии.
Оба варианта критерия Акайка дают одинаковый результат, но в первом случае выбирается модель с наибольшим значением критерия, а во втором случае – с наименьшим значением критерия.
Байесовский критерий Шварца (Schwarz Bayesian criterion – SBC) также используется для выбора наилучшей модели временного ряда из некоторого множества моделей.
Байесовский критерий Шварца для временных рядов можно представить в виде:
Байесовский критерий Шварца для моделей регрессии можно представить в виде:
По первому варианту расчёта критерия Байесовского критерий Шварца SBC выбирается та модель, для которой значение SBCt является наибольшим. При втором варианте выбирается та модель, для которой значение SBCG является наименьшим.
При проверке качества моделей результаты критериев Акайка и Шварца могут быть различны.
Общий критерий множителей Лагранжа (LM-test) применяется для проверки качества модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего с помощью автокорреляции остатков. С помощью данного критерия можно обнаружить в остатках регрессии автокорреляцию более высоких порядков, чем первый, но при этом необходимо, чтобы выборочная совокупность была достаточно велика.
Предположим, что на основании собранных данных была построена модель регрессии вида:
где εt – случайная ошибка модели:
εt=ρ1εt–1+ρ2εt–2+…+ρpεt-p+ut;
ρ – коэффициент автокорреляции порядка (1…ρ);
ut – нормально распределённая случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2: ut ~N(0,G2).
Данная модель регрессии может в качестве факторных переменных включать лаговые значения зависимой переменной. Поэтому необходимо проверить основную гипотезу H0 о незначимости коэффициентов автокорреляции:
H0:ρ1=ρ2=…=ρp=0.
Альтернативная гипотеза формулируется как утверждение о значимости коэффициентов автокорреляции:
H1:ρ1≠ρ2≠…≠ρp≠0.
Проверка выдвинутых гипотез осуществляется с помощью общего критерия множителей Лагранжа в несколько этапов:
1) оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии вида
рассчитываются с помощью метода наименьших квадратов;
2) рассчитываются остатки модели регрессии et:
3) определяются оценки модели регрессия вида:
Для данной модели осуществляется проверка значимости коэффициентов ρi при лаговых значениях остатков. Для этого вычисляется F-статистика, которая распределена по χ2 закону распределения с p степенями свободы. Если наблюдаемое значение χ2-критерия больше критического значения χ2-критерия, т. е.
то основная гипотеза об отсутствии автокорреляции в остатках отвергается. Если наблюдаемое значение χ2-критерия меньше критического значения χ2-критерия, т. е.
то гипотеза об отсутствии автокорреляции принимается.
85. Критерий Дикки-Фуллера проверки наличия единичных корней
Проверкой наличия единичных корней называется задача проверки основной гипотезы вида
H0:ρ=0 в модели авторегрессии первого порядка:
yt=a+ρyt–1+εt.
Для данного ряда справедливы следующие предположения:
1) временной ряд yt является стационарным, если выполняется условие – 1‹ρ‹1;
2) временной ряд yt является нестационарным и представляет собой модель со случайным трендом, если выполняется условие ρ=1;
3) временной ряд yt также является нестационарным, если выполняется условие ρ›0.
Таким образом, гипотеза о стационарности временного ряда yt состоит в проверке основной гипотезы вида H0:ρ=1.
Критерий Дикки-Фуллера используется при проверке гипотезы о наличия единичных корней.
При этом выдвигается основная гипотеза вида H0:ρ=1 для модели авторегрессии первого порядка:
yt=a+ρyt–1+εt.
Однако на следующем этапе оценивается не эта модель авторегрессии, а модель, которая получается после перехода к первым разностям:
Δyt=δyt-1+εt,
где δ=ρ–1.
Проверка основной гипотезы вида H0:ρ=1 для исходной модели авторегрессии первого порядка аналогична проверке гипотезы H0:δ=0 для полученной модели. Проверка данной гипотезы может осуществляться для трёх типов регрессионных уравнений:
Δyt=δyt-1+εt;(1)
Δyt=а+δyt-1+εt; (2)
Δyt=а+δyt-1+βt+εt. (3)
Данные модели регрессии отличаются только наличием членов модели a и βt.
Первая модель является моделью случайного тренда, во вторую модель включается свободный член a, являющийся коэффициентом случайного тренда. В третью модель включены и коэффициент случайного тренда, и коэффициент линейного временного тренда βt.
Проверка основной гипотезы H0:δ=0 состоит в оценивании методом наименьших квадратов одной или нескольких из моделей регрессии 1, 2, 3 для получения оценки и её стандартной ошибки.
Наблюдаемое значение t-критерия для проверки основной гипотезы вида H0:δ=0 состоит в оценивании методом наименьших квадратов одной или нескольких из моделей регрессии 1, 2, 3 для получения оценки
и её стандартной ошибки.
Наблюдаемое значение t-критерия для проверки основной гипотезы вида H0:β=0 рассчитывают по формуле:
где
– стандартная ошибка оценки
Однако критическое значение t-критерия в данном случае нельзя определить по таблице распределения Стьюдента. Дикки и Фуллер провели исследования, в результате которых определили критические значения t-критерия для проверки гипотезы H0:δ=0 в зависимости от вида модели регрессии и объёма выборочной совокупности. Данные статистики обозначаются как τ – для первой модели регрессии, τμ – для второй модели регрессии, τх – для третьей модели регрессии. Они приведены в таблице критических значений статистик Дикки-Фуллера для различных уровней значимости.
При проверке гипотезы о наличии во временном ряду авторегрессии более чем первого порядка используется расширенный критерий Дикки-Фуллера (Augmented Dickey-Fuller Test – ADF).
Процесс авторегрессии порядка р можно записать следующим образом:
Основная гипотеза формулируется как H0:δ=0. Если данная гипотеза верна, то данная модель авторегрессии имеет единичный корень, т. е. подчиняется процессу авторегрессии первого порядка.
Проверка основной гипотезы H0:δ=0 осуществляется для различных типов регрессионных уравнений:
Справедливость основной гипотезы проверяется с помощью статистики τ для первой модели регрессии (при отсутствии свободного члена и временного тренда).
Справедливость основной гипотезы проверяется с помощью статистики τμ для второй модели регрессии, включающей свободный член.
Справедливость основной гипотезы проверяется с помощью статистики τх для третьей модели регрессии, включающей свободный член и временной линейный тренд.
Если сумма коэффициентов модели регрессии вида
равна единице, т. е.
т. е. в данной модели имеется единичный корень.
86. Цензурированные результативные переменные
Объясняющая переменная называется цензурированной, если она представляет собой момент наступления интересующего нас события при условии ограниченности по времени продолжительности исследования.
Метод цензурирования переменных или наблюдений впервые возник в биологических и медицинских исследованиях. На современном этапе развития науки метод цензурирования используется в таких областях, как социология, демография и т. д. В частности в экономических исследованиях с помощью метода цензурирования анализируется время «выживания» новых предприятий или новой продукции, поступившей на рынок.
