В зависимости от направления процесса цензурирования результативной переменной, выделяют правое и левое цензурирование.
Правым цензурированием результативной переменной называется процесс цензурирования, который характеризуется двумя отличительными чертами:
1) известна точка начала момента цензурирования;
2) известна точка окончания момента цензурирования.
Например, осуществляется проверка 100 предприятий, производящих однотипную продукцию, по определённым параметрам. При этом известны начало и конец проведения проверки.
Левое цензурирование не удовлетворяет вышеуказанным чертам, и применяется в биомедицинских исследованиях.
Однократным цензурирование называется цензурирование, которое наступает в один определённый момент времени.
Например, осуществляется проверка 100 предприятий, производящих однотипную продукцию. Если процесс проверки завершится спустя фиксированный отрезок времени, то использовалось однократное цензурирование, а исследуемые данные были цензурированы один раз.
Многократным цензурированием называется цензурирование, которое наступает в различные моменты времени.
Многократное цензурирование используется в биомедицинских исследованиях.
Цензурированием I типа называется цензурирование, которое применяется в тех ситуациях, когда процесс тестирования завершается в заранее известный момент времени.
Например, при проверке 100 предприятий, производящих однотипную продукцию, процесс заканчивается через фиксированный отрезок времени. В этом случае количество предприятий, не прошедших проверку по установленным критериям, является случайной величиной, а время эксперимента – величиной заранее известной.
Цензурированием II типа называется цензурирование, которое применяется в тех ситуациях, когда процесс тестирования завершается при достижении заданных критериев.
Например, при проверке 100 предприятий процесс тестирования будет закончен тогда, когда 25 предприятий не будут удовлетворять заданным критериям. В данном случае число забракованных элементов известно, а время эксперимента является случайной величиной.
Общий вид линейной модели регрессии с цензурированной результативной переменной:
При цензурировании результативной переменной пользуются методом усечения:
Оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии с цензурированными переменными определяются с помощью метода максимума правдоподобия. В данной ситуации минимизируется логарифм функционала максимального правдоподобия вида:
Если дифференцировать данный функционал по вектору неизвестных коэффициентов, то результатом будут оценки максимального правдоподобия
Однако существует вероятность того, что данные оценки не будут удовлетворять свойству несмещённости.
Смещение оценок максимального правдоподобия устраняется путём изменения функционала максимального правдоподобия и приведения его к виду:
87. Системы эконометрических уравнений
Если экономический процесс не поддаётся описанию посредством одной модели регрессии, то в подобных ситуациях прибегают к построению нескольких эконометрических уравнений, которые в совокупности образуют систему.
В состав системы эконометрических уравнений входят множество зависимых или эндогенных переменных и множество предопределённых переменных (лаговые и текущие независимые переменные, а также лаговые эндогенные переменные).
Системы эконометрических уравнений используются для объяснения текущих значений эндогенных переменных в зависимости от значений предопределённых переменных.
Системы эконометрических уравнений, которые используются в эконометрическом моделировании, подразделяются на три типа.
1. Система независимых эконометрических уравнений вида:
Данная система характеризуется тем, что каждая эндогенная переменная y является функцией от одних и тех же переменных x;
2. Система рекурсивных эконометрических уравнений вида:
Данная система характеризуется тем, что в каждом последующем уравнении эндогенная переменная выступает в качестве экзогенной переменной;
3. Система взаимозависимых эконометрических уравнений вида:
Данная система характеризуется тем, что эндогенные переменные в одних уравнениях входят в левую часть (т. е. являются результативными переменными), а в других уравнениях – в правую часть (т. е. являются факторными переменными).
В системе взаимозависимых уравнений значения результативных и факторных переменных формируются одновременно под влиянием внешних факторов. Поэтому данная система также называется системой одновременных или совместных уравнений.
В системах независимых и рекурсивных уравнений каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, поэтому оценки неизвестных коэффициентов этих уравнений можно рассчитать с помощью классического метода наименьших квадратов.
В системе одновременных уравнений каждое уравнение не может рассматриваться как самостоятельная часть системы, поэтому оценки неизвестных коэффициентов данных уравнений нельзя определить с помощью классического метода наименьших квадратов, т. к. нарушаются три основных условия применения этого метода:
а) между переменными системы уравнений существует одновременная зависимость, т. е. в первом уравнении системы y1 является функцией от y2, а во втором уравнении уже y2 является функцией от y1;
б) наличие проблема мультиколлинеарности, т. е. во втором уравнении системы y2 зависит от x1, а в других уравнениях обе переменные являются факторными;
в) случайные ошибки уравнения коррелируют с результативными переменными.
Следовательно, если неизвестные коэффициенты системы одновременных уравнений оценивать с помощью классического метода наименьших квадратов, то в результате мы получим смещённые и несостоятельные оценки.
Основной моделью системы одновременных уравнений является модель одновременного формирования спроса Qd и предложения QS товара в зависимости от его цены P в момент времени t. Данная модель включает в себя три уравнения:
1) уравнение предложения:
2) уравнение спроса:
3) тождество спроса, справедливое при условии, что рынок находится в состоянии равновесия:
QSt = Qdt
где
QSt – предложение товара в момент времени t;
Qdt– спрос на товар в момент времени t;
Pt – цена товара в момент времени t;
Pt–1 – цена товара в предшествующий момент времени (t–1);
It – доход потребителей в момент времени t.
88. Структурная и приведённая формы системы одновременных уравнений. Идентификация модели
Структурными уравнениями называются уравнения, из которых состоит исходная система одновременных уравнений. В данном случае система имеет структурную форму.
Структурная форма системы одновременных уравнений непосредственно характеризует реальный экономический процесс.
Структурными коэффициентами или параметрами называются коэффициенты уравнений структурной формы системы одновременных уравнений.
Структурные уравнения могут быть представлены либо поведенческими уравнениями, либо уравнениями-тождествами.
Поведенческие уравнения характеризуют все типы взаимодействия между эндогенными и экзогенными переменными в структурной форме системы одновременных уравнений.
В поведенческих уравнениях значения параметров являются неизвестными и подлежат оцениванию.
Примером поведенческого уравнения являются уравнение спроса или уравнение предложения в модели спроса-предложения:
Тождествами называют равенства, которые выполняются во всех случаях.
Отличительной чертой тождеств является то, что их вид и значения параметров известны, и они не содержат случайной компоненты.
Примером уравнения-тождества является тождество равновесия в модели спроса-предложения:
QSt = Qdt
Для того чтобы определить неизвестные структурные коэффициенты системы одновременных уравнений необходимо перейти к приведённой форме системы.
Приведённой формой системы одновременных уравнений называется система независимых уравнений, в которой все эндогенные переменные выражены только через экзогенные или предопределённые переменные и случайные компоненты, например:
