80 долл.). На рис. 10.4 представлено «
дерево цены» такого опциона «
пут».
Рис. 10.4. Стоимости опциона «пут» и на дату исполнения («дерево цены»)
Биномиальная модель оценки опциона «пут» (как и опциона «колл») основана на выявлении условий воспроизведения денежных потоков, генерируемых продаваемыми опционом и базисной акцией. При идентичности денежных потоков продажа опциона «пут» считается равноценной продаже базисной акции.
Для определения премии по опциону «пут» найдём взаимосвязь между суммой собственных средств инвестора и размером кредита, необходимых для приобретения базисных акций, которые обеспечат на дату исполнения точное копирование денежных потоков (выплат) одного опциона «пут».
В «верхнем положении» совокупность акций при стоимости кредита (в расчёте за срок действия опциона) обеспечивает выплаты в размере, а в «нижнем положении» —. Учитывая, что в «верхнем положении» и «нижнем положении» стоимости опциона «пут» соответственно равны и, условие идентичности денежных потоков опциона «пут» и базисной акции определяется системой уравнений
В результате решения данной системы уравнений получаем
Величину определяют также и как коэффициент хеджирования применительно к опциону «пут».
Чтобы воспроизвести опцион «пут» необходимо приобрести базисных акций за собственные и заёмные средства, тогда при текущей стоимости одной акции коэффициент хеджирования можно рассчитать по формуле
На основании соотношений (10.5), (10.6) и (10.7) получаем
По аналогии с опционом «колл» справедливо утверждение, что величина является премией за опцион «пут».
Используя количественные показатели опциона «пут», которые приведены в начале параграфа, в результате расчётов получаем долл., долл. и. Следует обратить внимание на то, что величины и для опциона «пут» имеют отрицательные значения. На финансовом языке это означает, что для воспроизведения выплат по одному опциону «пут» инвестору необходимо продать 0,444 базисной акции по цене 100 долл. за одну акцию, что позволит получить 44,4 долл. дохода, добавить к этой сумме 7 долл. собственного капитала и предоставить кредит под 8 %—ов годовых (т. е. приобрести безрисковые облигации с доходностью годовых) на сумму 51,4 долл. Поскольку выплаты по базисной акции с учётом выплат по безрисковым облигациям и опциону идентичны, то можно сделать вывод, что премия за опцион «пут» составляет долл. Для наглядности результаты расчётов денежных потоков, генерируемых базисной акцией и опционом «пут» на дату исполнения сведены в табл. 10.2.
Таблица 10.2
Денежные потоки, генерируемые базисной акцией и опционом «пут»
Актив
Выплаты в
«верхнем положении»,
долл.
Выплаты в
«нижнем положении»,
долл.
Базисная
акция
1250,444 1,0851,4
0
800,444 1,0851,4
20
Опцион
«пут»
0
20
Таким образом, продажа инвестором 0,444 акции с привлечением собственного капитала в размере 7 долл. и предоставлении кредита 51,44 долл. под 8 %—ов годовых равноценна продаже одного опциона «пут» за 7 долл.
Паритет опционов «колл» и «пут». В [1] отмечаются две характерные особенности опционов «колл» и «пут» на одну и ту же акцию с едиными ценой исполнения и датой исполнения. Во — первых, очевидна взаимосвязь между количеством акций (или коэффициентами хеджирования) и (см. соотношения (10.2) и (10.6))
Во — вторых, в [1] обращается также внимание на взаимосвязь между стоимостью опционов (премиями по опционам) «колл» и «пут» (см. соотношения (10.4) и (10.8))
Данное равенство означает равноценность портфеля, содержащего опцион «пут» и базисную акцию, и портфеля, содержащего опцион «колл» и безрисковые облигации, затраты на приобретение которых равны дисконтированной цене исполнения опционов.
В биномиальной модели оценки опционов равенство (10.9) определяется как паритет опционов «колл» и «пут».
Безрисковый портфель на основе опциона «пут». Предположим, что портфель содержит контракт на один проданный опцион «пут» и базисных акций, которые инвестор планирует продать по истечении срока действия опциона. Установим величину, при которой на дату исполнения обеспечивается точно определённый (безрисковый) доход независимо от курса базисной акции.
В «верхнем положении» стоимость базисных акций составит, затраты на обслуживание контракта по опциону «пут» —, а результирующая стоимость портфеля —.
В «нижнем положении» стоимость базисных акций составит затраты на обслуживание контракта по опциону «пут» —, а результирующая стоимость портфеля —.
Портфель является безрисковым, если величина подобрана таким образом, чтобы и в «верхнем положении» и в «нижнем положении» стоимость портфеля была бы одинаковой, т. е.
Из данного равенства несложно получить формулу для расчёта величины (см. соотношение (10.6)), при которой будет сформирован безрисковый портфель.
При долл., долл. и долл. (см. исходные данные примера в начале параграфа) получаем: и долл. независимо от курса базисной акции.
Формирование безрискового портфеля возможно только при заранее известных значениях курсов акции в «верхнем положении» и «нижнем положении». В условиях априори неизвестных значений и безрисковый портфель не реализуем.
Следует отметить, что биномиальная модель удобна для упрощённого понимания специфики оценки опционов. Для практической оценки опционов такая модель неприемлема. Это обусловлено тем, что, во — первых, стоимость базисного актива не может принимать одно из двух дискретных значений. Во — вторых, цена исполнения не может не иметь никакого отношения к этим двум значениям стоимости базисного актива (т. е. цена исполнения должна также соответствовать одному из двух значений стоимости базисного актива).
Биномиальная модель оценки опционов может быть усложнена за счёт увеличения количества ветвей «дерева цены» [1]. Такой приём позволяет соответственно увеличить и количество возможных дискретных значений стоимости базисного актива.
Однако в действительности стоимость базисного актива является не дискретной, а непрерывной случайной величиной, и может принимать любое значение в определённой области возможных значений. При этом вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое — либо конкретное дискретное значение равна нулю [2]. Поэтому допустимость модернизации биномиальной модели за счёт механического увеличения количества ветвей «дерева цены» должна иметь соответствующую доказательную базу, чтобы использовать данную модель для практической деятельности.
Кроме того, в биномиальной модели оценки опциона уже при постановке задачи игнорируется сам факт случайной природы ценообразования базисного актива, что проявляется в отсутствии исходной информации о вероятности принятия стоимости базисного актива того или иного дискретного значения. Это исключает возможность расчёта таких важнейших статистических параметров опциона как его средняя доходность, вероятность успешного исполнения опциона и т. п. По этой же причине не представляется возможным сопоставление инвестиционных качеств опционов, а также можно утверждать, что начальные условия биномиальной модели сформулированы некорректно.
Необходимо подчеркнуть, что исследования закономерностей формирования случайного дохода, генерируемого такими рискованными активами как акция и опцион, не возможны без привлечения аппарата теории вероятностей. Поэтому для инвестора (аналитика) биномиальная модель оценки опционов может представлять лишь умозрительный интерес.
10.3. Модель оценки европейских опционов Блэка — Шоулза
Авторами модели являются Ф.Блэк, а также лауреаты Нобелевской премии по экономике
