class="p1">Рис. 10.2. Стоимость европейских опционов «
колл» (а) и «
пут» (б) в зависимости от цены акции до истечения срока действия опциона
Анализ графиков на рис. 10.2 показывает, что стоимость опциона (или премия по опциону), как отмечалось выше, не может быть ниже его внутренней стоимости.
Кроме того для опциона «колл» характерны следующие особенности [1]:
чем ниже стоимость базисного актива, тем ниже стоимость опциона;
при нулевой стоимости базисного актива стоимость опциона также равна нулю;
при неограниченном росте стоимости базисного актива стоимость опциона стремится к внутренней стоимости опциона.
Для опциона «пут» характерны следующие особенности [1]:
чем выше стоимость базисного актива, тем ниже стоимость опциона;
при нулевой стоимости базисного актива стоимость опциона равна цене исполнения опциона;
при неограниченном росте стоимости базисного актива стоимость опциона стремится к нулю.
В условиях непрерывного изменения временной стоимости опциона и случайных колебаний внутренней стоимости опциона (по причине естественной рыночной нестабильности стоимости базисного актива) из — за отсутствия надёжных моделей оценки опциона у инвесторов возникают трудности по определению текущей премии по опциону. Поэтому и в настоящее время разработка моделей оценки опционов является актуальной задачей инвестиционного менеджмента.
Американские опционы «колл», по базисным акциям которых не выплачиваются дивиденды, до даты исполнения целесообразно продавать, но не исполнять по причине потери временной стоимости. В качестве примера рассмотрим базисную акцию, текущая цена которой составляет 110 долл. Если американский опцион «колл» на базисную акцию имеет цену исполнения 100 долл. и продаётся за 14 долл., то внутренняя его стоимость составит 110–100=10 долл., а временная — 14–10=4 долл.
При досрочном исполнении американского опциона «колл» инвестор приобретёт базисную акцию за 100 долл. После продажи акции по рыночной цене за 110 долл. инвестором будет получен доход, равный внутренней стоимости опциона 110–100=10 долл. Если же инвестор продаст опцион по рыночной цене, равной сумме внутренней и временной стоимости, то доход инвестора составит 14 долл.
Следовательно, инвестору, купившему американский опцион «колл» на акцию, по которой не выплачиваются дивиденды, не целесообразно исполнять опцион до даты его исполнения. Поскольку на дату исполнения американские опционы не отличаются от европейских при прочих равных условиях премии по американским и европейским опционам «колл» можно полагать одинаковыми [1].
10.2. Биномиальная модель оценки европейских опционов
Ценой покупки опциона является премия, которая назначается продавцом и выплачивается покупателем в момент покупки опциона независимо от результата последующего исполнения контракта.
Биномиальную модель оценки опционов представим на примере оценки европейских опционов «колл» и «пут» на акцию, по которой в течение срока действия опциона не выплачиваются дивиденды (описание биномиальной модели и пример заимствованы из [1, с.651–653]).
Предположим, что текущая цена гипотетической базисной акции равна долл., через год стоимость данной акции будет составлять долл. или долл., цена исполнения опционов «колл» и «пут» одинакова и равна долл., а дата исполнения опционов назначена через год после заключения контракта. Предполагается также, что инвесторы могут воспользоваться кредитом (заёмными средствами) под годовых и предоставлять кредит, покупая безрисковые облигации с доходностью годовых.
Биномиальная модель оценки европейского опциона «колл». При цене исполнения долл. стоимость опциона «колл» на дату исполнения составит долл. (если акция будет стоить 125 долл.) или долл. (если акция будет стоить 80 долл.). На рис. 10.3 данная ситуация представлена в виде «дерева цены», которое имеет только две «ветви» (поэтому модель и называется биномиальной).
Рис. 10.3. Стоимости опциона «колл» и на дату исполнения («дерево цены»)
Биномиальная модель оценки опциона «колл» основана на выявлении условий воспроизведения денежных потоков, генерируемых опционом и базисной акцией. При идентичности денежных потоков опцион «колл» считается равноценным базисной акции.
В соответствии с начальными условиями через год курс акции может пойти вверх или вниз. Для удобства в [1] эти два состояния названы как «верхнее положение» и «нижнее положение» соответственно.
Для определения премии по опциону «колл» найдём взаимосвязь между суммой собственных средств инвестора и размером кредита, необходимых для приобретения базисных акций, которые обеспечат на дату исполнения точное копирование денежных потоков (выплат) одного опциона «колл».
В «верхнем положении» совокупность базисных акций при стоимости кредита (в расчёте за срок действия опциона) обеспечивает выплаты в размере, а в «нижнем положении» —. Учитывая, что в «верхнем положении» и «нижнем положении» стоимости опциона равны и соответственно, условие идентичности денежных потоков базисных акций и одного опциона «колл» определяется системой уравнений
В результате решения данной системы уравнений получаем
Величину определяют также как коэффициент хеджирования [1] — это количество акций, которое можно эффективно хеджировать одним опционом «колл», или отношение изменения цены опциона к изменению цены базисной акции.
Чтобы воспроизвести опцион «колл» необходимо приобрести базисных акций за собственные и заёмные средства, тогда при текущей стоимости одной акции коэффициент хеджирования можно рассчитать по формуле
Используя соотношения (10.1), (10.2) и (10.3), получаем
Если сумма собственных средств инвестора, затрачиваемых инвестором на приобретение базисных акций, будет равна премии, необходимой для приобретения одного опциона «колл», то совокупность акций будет равноценна одному опциону «колл». Следовательно, величина, рассчитываемая по соотношению (10.4), является также и премией по опциону «колл».
Используя количественные показатели опциона «колл», которые приведены в начале параграфа, в результате расчётов получаем долл., долл. и. На финансовом языке это означает, что для воспроизведения выплат по одному опциону «колл» инвестору необходимо получить кредит в размере 41,2 долл. под 8 %—ов годовых и приобрести 0,556 базисной акции по цене 100 долл. за одну акцию, затратив 55,6 долл. [1]. Следовательно, для приобретения 0,556 базисной акции кроме заёмных средств потребуется 55,6 — 41,2 = 14,4 долл. собственных средств инвестора. Поскольку выплаты по базисной акции и опциону идентичны, то можно сделать вывод, что стоимость опциона или премия по опциону «колл» составляет долл. Для наглядности результаты расчётов денежных потоков, генерируемых базисной акцией и опционом «колл» на дату исполнения сведены в табл. 10.1
Таблица 10.1
Денежные потоки, генерируемые базисной акцией и опционом «колл»
Актив
Выплаты в
«верхнем положении»,
долл.
Выплаты в
«нижнем положении»,
долл.
Базисная
акция
1250,556 1,0841,2
25
800,556 1,0841,2
0
Опцион
«колл»
25
0
Таким образом, приобретение инвестором 0,556 акции с привлечением собственного капитала в размере 14,4 долл. и заёмных средств в размере 41,2 долл. под 8 %—ов годовых равноценно приобретению одного опциона «колл» за 14,4 долл.
Биномиальная модель оценки европейского опциона «пут». При цене исполнения долл. стоимость опциона «пут» на дату исполнения составит долл. (если акция будет стоить 125 долл.) или долл. (если акция будет стоить
