М.Шоулз и Р.Мертон (премия присуждена «за новый метод определения стоимости производных ценных бумаг»). Данная модель получила широкое распространение и, помимо всего прочего, используется для оценки всех производных активов [1].
Вместе с тем в [1, с. 659] отмечается, что: «Она (т. е. формула Блэка — Шоулза) часто применяется теми, кто пытался обнаружить ситуации, когда рыночная цена опциона серьёзно отличается от его действительной цены. Опцион, который продаётся по существенно более низкой цене, чем полученная по формуле Блэка — Шоулза, является кандидатом на покупку; и наоборот, — тот, который продаётся по значительно более высокой цене, — кандидат на продажу». Констатация факта наличия существенного несоответствия рыночной цены с расчётной стоимостью опциона свидетельствует о целесообразности критического отношения к формуле Блэка — Шоулза.
При разработке модели оценки европейских опционов авторами были приняты следующие допущения:
по базисному активу, в частности акции, в течение всего срока действия опциона дивиденды не выплачиваются;
отсутствуют транзакционные затраты, связанные с покупкой или продажей базисного актива и опциона;
краткосрочная безрисковая ставка известна и является постоянной в течение всего срока действия опциона;
любой покупатель ценной бумаги может получать кредит по краткосрочной безрисковой ставке в течение всего срока действия опциона;
продажа ценных бумаг разрешается без ограничений, и при этом продавец получает немедленно всю наличную сумму за проданную ценную бумагу по текущей цене;
стоимость базисного актива является случайной величиной с логарифмически нормальной плотностью распределения.
Формула Блэка — Шоулза для оценки стоимости европейского опциона (или премии по опциону) «колл» имеет вид [1]
где
— текущая рыночная стоимость базисного актива; — цена исполнения опциона; — непрерывно начисляемая безрисковая ставка; — среднее квадратическое отклонение доходности базисного актива, представленное как непрерывно начисляемый процент в расчёте на год; — относительное время между покупкой опциона и моментом исполнения опциона.
При определении относительного времени обычно полагают, что:
цена базисного актива фиксируется в конце каждого торгового (операционного) дня на момент закрытия биржи;
календарный год содержит 252 торговых дня;
срок действия опциона измеряется как количество торговых дней до даты исполнения опциона включительно;
в день исполнения европейского опциона и;
досрочное исполнение американского опциона возможно при и.
В соответствии с изложенным, относительное время между покупкой опциона и моментом исполнения опциона можно рассчитать по формуле
Следовательно, срок действия стандартных 3–х, 6–ти и 9–ти месячных опционов в единицах относительного времени составляет 0,25, 0,5 и 0,75 соответственно.
Необходимо обратить внимание на то, что — это дисконтированная цена исполнения опциона на базе непрерывно начисляемого процента, причём при безрисковая ставка может быть определена по формуле [1]. Кроме того, величина является не чем иным как текущим СКО доходности базисного актива.
Для европейского опциона «пут» формула Блэка — Шоулза преобразуется к виду [1]
На рис. 10.5 представлены зависимости стоимости европейских опционов «колл» и «пут» от текущей стоимости базисной акции, рассчитанные с использованием формул (10.10) и (10.11)
а)
б)
Рис. 10.5. Зависимости стоимости европейских опционов «колл» (а) и «пут» (б) от стоимости базисной акции при: долл., (кривые 1, 2, 3 соответственно)
Для сопоставления зависимостей стоимости европейских опционов и на рис. 10.5 изображены также ломаные линии, характеризующие внутреннюю стоимость опционов «колл» и «пут». Анализ полученных зависимостей показывает, что стоимость европейского опциона, рассчитанная по формуле Блэка — Шоулза, не может быть ниже внутренней стоимости опциона, т. е.
Таким образом, положение о том, что стоимость европейского опциона равна сумме внутренней и временной стоимости, следует из формулы Блэка — Шоулза.
Не вникая в технологию вывода формулы Блэка — Шоулза, сконцентрируемся на анализе конечных результатов.
Модель оценки европейских опционов Блэка — Шоулза базируется на расчёте текущей доходности базового актива (см. п. 2.4), а также на предположении о зависимости текущего СКО доходности базисного актива от относительного времени между покупкой опциона и моментом исполнения опциона. При этом принята гипотеза, что по мере истечения срока действия европейского опциона текущее СКО доходности актива стремится к нулю, вследствие чего временная стоимость опциона монотонно уменьшается также до нуля.
Действительно, в соответствии с формулами (10.10) и (10.11) при (т. е. в день исполнения опциона) временная стоимость европейского опциона становится равной нулю, а премия по опциону определяется исключительно его внутренней стоимостью. Сравнительный анализ зависимостей 1, 2 и 3 на рис. 10.5 показывает, что уменьшение относительного времени приводит к убыванию временной стоимости и график стоимости опциона приближается к ломаной линии, которая характеризует внутреннюю стоимость опциона. Таким образом, формально формула Блэка — Шоулза адекватно отражает одну из закономерностей формирования временной стоимости европейского опциона.
Однако в модели оценки европейских опционов Блэка — Шоулза игнорируются последствия того, что при, т. е. при, стоимость базисного актива в день исполнения опциона становится не случайной, а точно известной, равной математическому ожиданию цены базисного актива. Данное обстоятельство, во — первых, должно позволять инвестору гарантированно правильно прогнозировать цену базисного актива на день исполнения опциона. Во — вторых, это означает трансформацию рискованного актива в день исполнения опциона в безрисковый актив. Очевидно, что ни первое, ни второе положение не согласуется с действительностью.
Зависимость СКО доходности базисного актива от относительного времени приводит и к другому парадоксу. Предположим, что одновременно продаются 3–х, 6–ти и 9–ти месячные опционы на один и тот же базисный актив. Согласно формуле Блэка — Шоулза на начало срока действия опционов базисный актив будет обладать одновременно тремя значениями СКО доходности —, соответственно, что также не может соответствовать действительности.
Природа зависимости текущего СКО доходности базисного актива от одного из параметров производной ценной бумаги (опциона) в формулах Блэка — Шоулза не имеет логического объяснения. Как следствие, на практике основной проблемой оценки стоимости опциона по формуле Блэка — Шоулза является определение значения. Для этого в [1, с. 662–664] предлагается несколько специфических методов.
Один из таких методов основан на использовании динамики исторических цен базисного актива и определении текущей и средней доходности актива с последующим расчётом СКО капитальной доходности за определённый период времени (несостоятельность данного метода обсуждается в п. 2.4).
В других методах используется субъективная (экспертная) оценка вероятности возможных будущих цен на базисный актив, на основе которой рассчитывается СКО доходности. Очевидно, что результаты подобных расчётов невозможно принять в качестве достоверных.
Самый неординарный метод основан на гипотезе о том, что в настоящий момент европейский опцион правильно оценён рынком. Используя «правильную» рыночную цену опциона и формулу Блэка — Шоулза, не представляет особых затруднений определение и соответствующего «правильного» значения СКО доходности базисного актива с последующим использованием этого значения для
