Авинаш Диксит - Теория игр. Искусство стратегического мышления в бизнесе и жизни

Наивное голосование

Самый распространенный метод голосования – простым большинством. Однако мажоритарная система выборов дает порой парадоксальные результаты, которые могут оказаться даже более неожиданными, чем результаты выборов 2000 года. Эту особенность мажоритарной системы впервые обнаружил герой Французской революции маркиз де Кондорсе. В его честь мы проиллюстрируем фундаментальный парадокс принципа простого большинства на примере революционной Франции.

Кто должен был стать новым лидером Франции после падения Бастилии? Предположим, на этот пост претендуют три кандидата: господин Робеспьер (Р), господин Дантон (Д) и госпожа Лафарж (Л). Население разделено на три группы (левые, центристы и правые) со следующими предпочтениями:

В голосовании принимают участие 40 левых, 25 центристов и 35 правых избирателей. В выборе между Робеспьером и Дантоном одержит верх Робеспьер с 75 голосами против 25. В выборе между Робеспьером и Лафарж победит последняя с соотношением голосов 60 против 40. Но в выборе между мадам Лафарж и Дантоном победа достанется Дантону с перевесом 65 против 35 голосов. Следовательно, явного победителя здесь нет. Ни один кандидат не может победить остальных в ходе прямых выборов. Если бы в данной ситуации был избран любой из кандидатов, все равно остался бы еще один кандидат, которому отдает предпочтение большая часть избирателей.

Перспектива формирования бесконечных циклов делает невозможным любой альтернативный вариант выборов, которые отображали бы волю всего народа. Когда Кондорсе{160} столкнулся с этой проблемой, он предложил определять итоги выборов по следующему принципу: подавляющее большинство голосов имеет приоритет над незначительным перевесом голосов. Кондорсе мотивировал это тем, что существует истинная воля народа, а значит, наличие такого цикла свидетельствует об ошибке. Незначительное большинство голосов с большей вероятностью может стать следствием такой ошибки, чем значительное большинство.

Согласно этой логике, победу Робеспьера над Дантоном с перевесом голосов 75 против 25 следует считать более приоритетной по сравнению с победой мадам Лафарж над Робеспьером, полученной простым большинством голосов – 60 против 40. По Кондорсе, избиратели явно больше симпатизируют Робеспьеру, чем Дантону, и больше Дантону, чем Лафарж. Следовательно, Робеспьер – самый лучший кандидат, а незначительное большинство избирателей, отдающих предпочтение мадам Лафарж перед Робеспьером, – это ошибка. Таким образом, Робеспьера необходимо объявить победителем, поскольку против него проголосовало максимум 60 избирателей, тогда как против других кандидатов проголосовало еще больше избирателей.

По иронии судьбы во Франции сейчас применяется другая система, которую часто называют выборами в два тура. Если во время первого тура выборов ни один из кандидатов не получает абсолютного большинства голосов, два кандидата с максимальным числом голосов продолжают борьбу друг с другом во втором туре.

Представьте себе, что произошло бы, если бы мы применили французскую систему выборов в нашем примере с тремя кандидатами. В первом раунде лидировал бы Робеспьер, получивший 40 голосов; мадам Лафарж заняла бы второе место (35 голосов), а Дантон оказался бы последним (25 голосов).

Учитывая эти результаты, Дантон будет исключен из дальнейшей борьбы, а два других кандидата, получившие больше голосов, встретятся во втором туре. Можно предположить, что во втором туре сторонники Дантона отдадут свои голоса мадам Лафарж, которая победит в выборах с перевесом голосов 60 против 40. Это еще раз подтверждает, что процедура голосования определяет исход выборов в не меньшей степени, чем предпочтения избирателей.

Разумеется, мы исходили из предположения о том, что избиратели рассуждают несколько наивно, принимая решения о выборе того или иного кандидата. Если бы опросы позволяли точно прогнозировать предпочтения избирателей, то сторонники Робеспьера могли бы предвидеть, что их кандидат проиграет мадам Лафарж во втором туре, что было бы для них худшим из возможных результатов. В итоге у них появился бы стимул из стратегических соображений проголосовать за Дантона, который в таком случае победил бы Робеспьера уже в первом туре голосования, получив 65 процентов голосов.

Процедура, которую разработал Кондорсе, позволяет решить проблему голосования во время первичных или даже всеобщих выборов с участием трех или более кандидатов. Кондорсе предлагал определять победителя выборов посредством попарного сравнения кандидатов. При такой системе голосования президентские выборы 2000 года проходили бы так: Буш против Гора, Буш против Нейдера, Гор против Нейдера. Победителем выборов стал бы кандидат с наименьшим максимумом голосов против него.

Представьте себе, что Гор победил бы Буша с соотношением голосов 51 против 49; Гор победил Нейдера с соотношением 80 против 20, а Буш победил Нейдера с соотношением 70 против 30 голосов. В таком случае максимальное число голосов против Гора было бы 49, а это меньше максимального числа голосов против Буша (51) или Нейдера (80). По существу, Гор стал бы победителем выборов по системе Кондорсе, поскольку он превзошел остальных кандидатов в противостоянии один на один{161}.

Кто-то подумает, что все это очень интересно теоретически, но совершенно неприменимо на практике. Разве можно предлагать людям голосовать в трех отдельных выборах? А если в первичных выборах принимают участие шесть кандидатов, людям придется голосовать 15 раз, чтобы сделать свой выбор во всех попарных выборах! На первый взгляд, это просто невозможно.

К счастью, существует простой подход, позволяющий реализовать такую систему голосования на практике. Все, что нужно сделать избирателям, – ранжировать кандидатов в избирательном бюллетене по степени их предпочтительности для избирателя. На основании такого рейтинга компьютер определит итоги голосования по каждой паре кандидатов. Так, избиратель, расположивший кандидатов в порядке «Гор – Нейдер – Буш», отдает предпочтение Гору перед Нейдером, Нейдеру перед Бушем и Гору перед Бушем. Избиратель, который ранжирует таким способом шесть кандидатов, косвенным образом задает порядок выбора одного из кандидатов во всех 15 парах. Если борьба разворачивается между кандидатами, которые стоят в списке избирателя под номерами 2 и 5, его голос засчитывается за кандидата с номером 2. (Если избиратель присвоил определенный рейтинг не всем кандидатам, это тоже не проблема. Кандидат, которому присвоен рейтинг, побеждает всех кандидатов без рейтинга; если борьба проходит между двумя кандидатами без рейтинга, избиратель воздерживается от голосования.)