(где Ах — неопределенность в координате) и «члена, связанного с полем тяготения, создаваемого самим измерительным прибором вследствие отдачи при измерении импульса». Второе слагаемое Бронштейн оценивает следующим образом. Уравнение (1) с учетом используемого приближения дает
Если на отдельное измерение импульса затрачивается время At (при этом должно быть At<<T), то неопреде
ленность величины h01 , связанная с неопределенностью скорости отдачи vx~Ax/At, имеет порядок
и согласно (2) неопределенность напряженности гравитационного поля
Соответствующая неопределенность импульса, связанная с собственным гравитационным полем пробного тела, имеет тогда порядок
Тогда
(6)
Продолжительность измерения импульса At ограничивается снизу двумя условиями. Во-первых, должно быть At>Ax/c, чтобы скорость отдачи, вызванной изменением импульса, была меньше скорости света. Отсюда и из (5) следует
Во-вторых, из самого смысла измерения поля в объеме V следует, что величина Ax должна быть меньше размеров пробного тела: Ax<V13. Учитывая (5), получим
Получив эти две нижние границы для At, Бронштейн отмечает, что отношение первой из них ко второй
«зависит от массы пробного тела, будучи совершенно ничтожной величиной в случае электрона и становясь величиной порядка 1 в случае пылинки, весящей сотую долю миллиграмма». Для неопределенности AT1j00 получаются соответственно две границы
Поскольку, как видно отсюда, для возможно более точного измерения Г1,00 в данном объеме V следует применять пробные тела возможно большей массы (плотности), то существенной становится только первая граница.
Бронштейн указывает, что предыдущие рассуждения аналогичны соответствующим рассуждениям в квантовой электродинамике (при этом ссылается на свою заметку 1934 г.) и пишет: «Но на этом месте приходится принять во внимание обстоятельство, из которого обнаруживается принципиальное различие между квантовой электродинамикой и квантовой теорией гравитационного поля. Различие это заключается в том, что в формальной квантовой электродинамике, не учитывающей структуры элементарного заряда, нет никаких принципиальных причин, ограничивающих увеличение плотности р. При достаточно большой плотности заряда пробного тела точность измерения компонент электрического поля может быть сделана какой угодно. В природе, вероятно, существуют принципиальные ограничения плотности электрического заряда (не больше одного элементарного заряда на объем с линейными размерами порядка классического электронного радиуса), однако эти ограничения не учитываются формальной квантовой электродинамикой... Не то — в квантовой теории гравитационного поля: она должна считаться с ограничением, вытекающим из того, что гравитационный радиус пробного тела (KpV) не может превосходить его действительных линейных размеров
Если это учесть, то (10) дает «абсолютный минимум неопределенности»
Конечно, этот «абсолютный предел вычислен очень грубо, потому что при достаточно большой массе измерительного прибора начнут, вероятно, играть роль отступления от принципа суперпозиции...»; однако Бронштейн считает, что «аналогичный результат сохранится и в более точной теории, так как он нисколько сам по себе не вытекает из принципа суперпозиции, а соответствует лишь тому факту, что в общей теории относительности не может существовать тел сколь угодно большой массы при заданном объеме. В электродинамике нет никакой аналогии этому факту... вот почему квантовая электродинамика возможна без внутренних противоречий». Указав, что в теории гравитации «это внутреннее противоречие никак не может быть обойдено», Бронштейн пришел к выводу:
«В области общей теории относительности, где отклонения от "евклидовости" могут быть сколь угодно велики... возможности измерения еще более ограничены, чем можно заключить из квантово-механических перестановочных соотношений» и «без глубокой переработки классических понятий кажется едва ли возможным распространить квантовую теорию гравитации также и на эту область» [30, с. 276] .
Именно так впервые были обнаружены границы применимости общей теории относительности — неквантовой релятивистской теории гравитации.
Само существование таких границ предвиделось и раньше — вспомним замечание Эйнштейна 1916 г. о том, что квантовая теория должна модифицировать теорию гравитации, неудовлетворенность Эйнштейна тем, что «линейки и часы», используемые в построении ОТО, рассматривались безо всякого учета их микроскопического строения, упоминавшееся замечание Клейна 1927 г. Однако все такие соображения имели логический или методологический характер. Бронштейновский анализ проведен на физическом, количественном языке.
в) Планковские масштабы в cGh-физике. Нынешнему читателю в этом анализе не хватает только так называемых планковских величин, которые в наши дни появляются во всяком обсуждении квантовых границ ОТО. Эти величины представляют собой комбинации из фундаментальных констант с, G и h вида
и могут иметь любые размерности (длины, времени, плотности и т. д.). Именно планковские величины сопоставляются границам ОТО, обусловленным необходимостью ее квантового обобщения.
При этом аргументы, приводимые в обоснование, весьма различны — от эскизов будущей теории квантовой гравитации до соображений размерности. А так как последние не требуют каких-либо сложных построений, можно предположить, что квантово-гравитационная роль планковских величин была известна очень давно, чуть ли не самому Планку [124—125].
(использованы современные обозначения и величины констант). Выпишем еще выражение для планковской плотности
Однако в действительности эти величины Планк ввел, безо всякой связи с квантовой гравитацией, в 1899 году, когда еще не было и самой квантовой теории. Он предложил «естественные единицы измерения», которые «обязательно сохраняли бы свое значение для всех времен и для всех культур, в том числе и внеземных и нечеловеческих» [254, с. 232]:
определяющей квантово-гравитационную эпоху в космологии.
В явном виде на квантово-гравитационное значение планковских величин было указано лишь в середине 50-х годов почти одновременно несколькими физиками — О. Клейном, Л. Д. Ландау, В. Паули и Дж. Уилером (об истории планковских величин см. [168, гл. 5]). Однако неявно такие величины есть, конечно, уже у Бронштейна, поскольку в его анализ вовлечены все три константы: с, G и h. Его рассуждения легко дополнить так, чтобы планковские величины возникли и явным образом. Собственно, одна такая величина — планковская масса — появилась уже в тексте Бронштейна. Это та самая «пылинка, весящая сотую долю миллиграмма», для которой неопределенности (7) и (8) имеют одинаковый порядок (в статье [30] выписано даже явное выражение для планковской массы).
