Тогда границы (7), (8) превращаются в
Чтобы планковские величины «проявились», можно рассуждать так. Будем стремиться измерять гравитационное поле не только с наименьшей неопределенностью, но и в наименьшем возможном объеме, стремясь определить «поле в данной точке». Тогда уже придется рассматривать обе границы (7), (8), а не только первую из них. Для уменьшения неопределенности Г100 надо использовать максимальную возможную плотность пробного тела; в силу (12) это
При этом соответствующие размеры пробного тела
и, наконец, минимальная неопределенность напряженности гравитационного поля Г
По самому смыслу измерения напряженности, усредненной за промежуток времени Т, должно выполняться условие At<T. Поэтому при данном Т следует стремиться к наименьшему возможному At. Так как т1 уменьшается с уменьшением V, а т2 растет, минимальное значение наибольшей из величин т1, т2 достигается при т1=т2. Тогда
Если же мы учтем, что неопределенность в измерении гравитационного поля следует оценивать по суммарному воздействию на пробное тело — работе напряженнос1т/и3 на расстоянии порядка размеров тела Ag=Ar-V13 (эта же величина описывает неопределенность метрики), то получим
Таким образом, область применимости классической теории гравитации и пространства-времени ограничивается действительно планковскими величинами.
Чтобы получить планковские масштабы для квантово-гравитационных явлений, не обязательно привлекать анализ измеримости, как Бронштейн в 1935 г., или фейнмановский интеграл, как Уилер в 1955 г. Достаточно простейшим способом ввести в рассмотрение константы с, G и h. Можно это сделать уже на уровне физики 1913 г. Рассмотрим две точечные частицы массы М, связанные гравитационным взаимодействием и движущиеся по круговой орбите радиуса R. Подчиним эту систему классической механике Ma=Mv2/R— =GM2/(2R)2 и квантовому постулату Бора 2MvR=nh, n=1, 2,... Чтобы выяснить, при каких значениях параметров Ми R описание системы должно существенно учитывать квантово-релятивистские эффекты, нужно положить, что п достаточно близко к единице и скорость v достаточно близка к скорости света с. Тогда легко получить, что квантово-гравитационной области соответствует одновременная близость М и R к планковским значениям. Однако при этом глубокий пространственно-временной смысл cGh-границ остается, конечно, незаметным.
г) Восприятие квантово-гравитационных границ. Если бы даже в 30-е годы были известны планковские характеристики квантово-гравитационных границ, решиться т-3о3гда гово-р5ить о н1и9х было нелегко. Ведь величины 10-33 см и 10-5 г (=1019 ГэВ) фантастически далеки от насущных для физики того времени величин ядерных масштабов 10-13 см и 1 ГэВ.
Вот что писал в 1930 г. Гейзенберг: «Часто высказывается надежда, что квантовая теория после разрешения только что названных проблем [связанных с релятивистской формулировкой квантовой теории], может быть, снова будет в значительной степени сведена к классическим понятиям. Но даже поверхностный взгляд на развитие физики за последние тридцать лет показывает нам, что скорее, наоборот, можно ожидать еще более широких ограничений классического мира понятий. В добавление к изменениям нашего обыкновенного пространственно-временного мира, которые были потребованы теорией относительности и для которых характерна постоянная с, и к соотношениям неопределенности квантовой теории, символом которых может служить планковская постоянная h, появятся еще другие ограничения, стоящие в связи с универсальными постоянными е, ц [масса электрона], М (масса протона)» [158, с. 79].
Это высказывание вполне отражало общественное мнение в физике 30-х годов. Если же в прогнозе Гейзенберга вместо е, ц, M подставить G, то это едва ли нашло бы сочувствие у кого-нибудь в те годы. В частности, потому, что тогда не было идей,-3к3оторые мо-1г3ли хотя бы эскизно соединить величины 10-33 см и 10-13 см (такие идеи появились только совсем недавно [262]). Но, как следует из бронштейновского анализа и в соответствии с общим взглядом на теоретическую физику через магический cGh-куб (см. разд. 5.3), для замены набора с, h, е, ц, М на с, G, h основания были.
Видя эти основания и доверяя своему зрению, Бронштейн в подробном изложении своей работы [31] уточнил, глубокая переработка каких понятий потребуется в полной квантовой теории гравитации:
«Устранение связанных с этим [с принципиально ограниченной измеримостью гравитационно-геометрических величин] логических противоречий требует радикальной перестройки теории и, в частности, отказа от римановой геометрии, оперирующей, как мы здесь видим, принципиально не [55] наблюдаемыми величинами — а может быть, и отказа от обычных представлений о пространстве и времени и замены их какими-то гораздо более глубокими и лишенными наглядности понятиями. Wer's nicht glaubt, bezahlt einen Taler».
Пафос фундаментального вывода уравновешивается немецкой фразой, весьма необычной для ЖЭТФа. Этой фразой («Кто не верит, тот платит талер») кончается и сказка братьев Гримм «Про умного портняжку», в которой говорится о совершенно невероятных (даже по сказочным стандартам) деяниях портняжки, который «был человек на вид неказистый и порядочный растяпа, да и в ремесле своем не искусник». В художественном переводе фраза звучит так: «А кто сказке моей не верит, пусть талер дает живей!» [175, с. 334].
Появление немецкой поговорки на страницах ЖЭТФа может сказать нам кое-что о самом Бронштейне — о его эмоциональной интеллектуальности, органичной самоиронии, независимости (разве положено последовательность выкладок завершать поговоркой?).
Но в этом расширении обычного словаря теоретика можно усмотреть и тогдашнее умонастроение его коллег.
Теоретики уже успели привыкнуть к прорицаниям, грозящим революцией пространству-времени. И, как бывает с предсказаниями, которые не спешат сбываться, они уже надоели. В 1935 г. ожидание фундаментальных перемен не сковывало теоретиков, как в начале 30-х. Экспериментальные открытия (нейтрон, позитрон) и теория Ферми (узаконившая нейтрино) дали физике микромира обширное поле деятельности. И в этих обстоятельствах, чтобы вновь провозгласить неизбежность перестройки пространственно-временных понятий, требовалось известное мужество. У Матвея Петровича Бронштейна оно было.
Только спустя десятилетия вывод Бронштейна стал признан, хотя и сейчас еще квантовая «радикальная перестройка» теории гравитации остается нерешенной задачей.
Квантовые границы ОТО обнаружил вновь в 1955 г. Уилер, два года спустя в связи с этим вспомнили о планковских величинах [167]. В наше время планковские величины — стандартный синоним квантовой гравитации, «очевидные» границы ОТО. Еще более очевидно сейчас само существование таких границ. Однако дело обстояло совсем иначе в 30-е годы.
