Еще до знакомства с работами Лобачевского он, догадывался, что, помимо эвклидовой, может иметь место иная геометрия и что природа пространства, возможно, совсем не такова, как мы привыкли считать.
Он имел неосторожность высказать «крамольные», мысли вслух. Больше того: он дерзнул на практике проверить положение о том, что сумма внутренних углов треугольника равна двум прямым. Он вымерил треугольник, образованный вершинами гор Брокен, Хохер Хаген и Инзельсберг. Отклонений от эвклидовой геометрии, разумеется, не обнаружил.
Но «беотийцы» словно с ума посходили. Казенные философы, попы, пигмеи научной мысли, математические крохоборы освистали Гаусса. Они объявили, что математика — это наука, в которой никогда не знают, о чем говорят, и не знают, истинно ли то, о чем говорят; и всякий не придерживающийся подобного взгляда на математику не может считаться настоящим ученым. Они, едва познавшие азы науки, читали ему мораль, говорили, что «чувственной» реальности не место в математике. Наука должна обладать чистой красотой и в этом ее эстетическая ценность; и что если бы Гаусс даже и нашел отклонение от эвклидовой геометрии, то это в лучшем случае могло бы значить, что существуют какие-то неизвестные нам причины, отклоняющие световые лучи между двумя зрительными трубами; природа пространства может быть лишь эвклидовой. Недаром Кант обожествил эвклидову геометрию, признал ее положения истинными априори.
С тех пор «колосс» решил не связываться больше с «беотийцами».
Да, на неэвклидову геометрию Гауссу не повезло с самого начала. Тогда он решил создать дифференциальную геометрию — внутреннюю геометрию кривых поверхностей.
Любая поверхность несет в себе свою собственную геометрию; однако эта геометрия никоим образом не определяет несущую ее поверхность: при помощи изгибания можно получить бесконечно много поверхностей, разных по форме, но с общей внутренней геометрией. Например, листу бумаги легко придать цилиндрическую форму. Так же легко развернуть цилиндр на плоскость. Сумма углов треугольника на плоскости и на поверхности цилиндра всегда одинакова. Таким образом, мы наглядно доказываем, что кусок плоскости и некоторая часть цилиндра имеют одинаковую внутреннюю геометрию. Наложить лист на глобус или на седловидную поверхность нам не удастся: в первом случае образуются складки, во втором — разрывы. Следовательно, у плоскости, сферы и гиперболического параболоида разные внутренние геометрии. Само собой разумеется, что кривизна плоскости равна нулю (на то она и плоскость!); кривизна сферы определяется радиусом, ее принято называть положительной (хотя бы потому, что сумма углов треугольника на поверхности сферы всегда больше 180°); существуют поверхности, где сумма углов треугольника меньше двух прямых — их называют поверхностями отрицательной кривизны; сюда можно отнести гиперболический параболоид или седло.
Одним словом, каждая поверхность имеет свою геометрию.
В повседневной практике о свойствах той или иной поверхности мы судим с точки зрения жителя трехмерного пространства. Мы говорим: шар, плоскость. Но, оказывается, можно также отыскивать внутренние свойства самой поверхности безотносительно к ее внешнему положению, так сказать, не выходя за ее пределы. Произведем маленький мысленный эксперимент. Поверхность есть не что иное, как пространство двух измерений. Пусть на поверхности шара обитают некие двумерные существа, не имеющие никакого представления о третьем измерении. Поверхность сферы будет их пространством, их «плоскостью»; измеряя треугольники на своей «плоскости», они каждый раз убеждаются в том, что сумма внутренних углов треугольника больше 180°. Это незыблемый закон их пространства. Им и в голову не придет, что могут существовать другие поверхности — такие, скажем, как стол, седло. На поверхности шара нет прямых линий, но гипотетические двумерные существа упрямо будут считать свои кривые прямыми, так как в их мире это кратчайшие линии, геодезичесские, как их принято называть. Всякого дерзнувшего утверждать, что их «пространство» искривлено и представляет поверхность сферы, они сочтут безумцем. Им никогда не выйти из двумерности своего мира.
Как видим, понятие кривизны поверхности, пока мы не выходим за ее пределы, не является чем-то наглядным. Мы могли бы продолжить эксперимент: населить двумерными существами плоскость. Можно ли дать обитателям плоскости представление о кривизне? Да, можно. Пусть плоская поверхность в одной области доступного им пространства по каким-то причинам деформировалась, вспучилась, сделалась сферической. Обитатели плоскости обнаружат, что в этой области сумма углов треугольника больше 180°. По отклонениям суммы углов треугольника от двух прямых они и будут судить о кривизне, о мере «неэвклидовости» своего пространства, вкладывая в понятие кривизны лишь метрические соотношения — и ничего более.
По замечанию Гельмгольца, Гаусс установил геометрию поверхности в том виде, в каком ее строил бы обитатель этой поверхности, которому недоступно третье измерение пространства.
Гаусс не производил мысленных опытов. Создавая геометрию кривых поверхностей, он имел в виду лишь свои многолетние геодезические измерения и не отождествлял поверхность с пространством.
Все последние годы он проводил в своей башне и ничего не хотел знать о своих учениках. А они настойчиво стучались в дверь, несли скороспелые мемуары, требовали внимания.
Зимой 1847 года «король математики», наконец, вышел из себя.
В святая святых, в башню Гаусса ворвался студент Геттингенского университета, некто Бернгард Риман. Сын бедного провинциального священника, Риман, не желая изучать теологию (к чему побуждал его отец), бежал в Геттинген. Конечно же, в кармане у него лежал совершенно гениальный доморощенный мемуар «Опыт обобщения действий интегрирования и дифференцирования». Риман осознавал свое исключительное математическое дарование, мечтал завоевать мир, а потому сразу же сунулся к «колоссу».
Гаусс с недоумением разглядывал смельчака: впалая грудь, впалые щеки, реденькие волосы на голове, близорукие глаза. Все время щурится. А тот, кто имеет привычку щуриться, быстро теряет зрение.
— Я Бернгард Риман, — представился юноша таким тоном, словно кому-кому, а «королю математики» следовало бы уж давно знать это звучное имя. — Я проштудировал ваши «Общие изыскания о кривых поверхностях» и был поражен глубиной мысли… Превосходная работа!
— А я и не подозревал, — ответил Гаусс сухо. — Мне лестно слышать ваш отзыв, господин… м… м…
— Риман!
— Вот именно. А теперь перейдем к делу. Вы принесли на отзыв свой мемуар, не так ли?
