Пространство, физическое трехмерное пространство искривлено, и лишь в бесконечно малых областях его можно считать плоским, неискривленным, эвклидовым! — вот к такому выводу приходит Риман. Мерой отличия любого пространства от эвклидова является кривизна.
Уже Лобачевский близко подошел к мысли о кривизне пространства. Он вопреки Ньютону считал, что в мире пустоты не существует; все тела в природе можно представлять частями одного целого — пространства. Пространство есть протяженность, присущая всем телам, кроме того, оно обладает структурой. Соприкосновение тел как форма их взаимодействия образует основу пространственных отношений. Может ли материальная протяженность быть искривленной? По-видимому, да. Как уже отмечалось, понятие кривизны поверхности — этого двумерного пространства, если мы не выходим за ее пределы, не является наглядным. Также не является наглядным и понятие кривизны трехмерного пространства. А выйти за его пределы мы не в состоянии, так как в природе не существует четвертого геометрического измерения. Во всяком случае, три измерения выражают всю полноту связи сосуществующих явлений.
Эвклидово пространство можно считать плоским, обладающим нулевой кривизной; пространство Лобачевского имеет отрицательную кривизну, Римана — положительную.
— Какова же истинная геометрия физического пространства? Это можно установить только опытным путем, — повторяет Риман вслед за Лобачевским.
Геометрия реального мира есть вопрос физический.
Человечество могло поздравить себя: оно стало обладателем трех геометрий — плоской эвклидовой, гиперболической Лобачевского и эллиптической Римана! Три пространства со своей внутренней геометрией. Это в полном смысле трехмерные физические пространства, и в каждом существуют свои типы поверхностей: в эвклидовом — поверхность шара, плоскость; в пространстве Лобачевского — плоскость, на которой осуществляется гиперболическая геометрия, поверхность шара и некая предельная поверхность, несущая на себе планиметрию Эвклида. Есть свои поверхности и у риманова пространства.
Но Риману всего этого показалось мало: он решил создать еще одну геометрию — общую, которая включала бы в себя все мыслимые геометрии, причем наиболее простые из них — три нам уже известные. Оказывается, геометрий может быть бесчисленное множество. Стоило Лобачевскому сдвинуть многовековой обомшелый камень, как геометрии посыпались, словно из рога изобилия.
Риман стал творцом геометрии множеств. Что такое множество или многообразие? Это совокупность чего-либо, коллектив вещей, понятий, идей, числовые группы. Всякая поверхность, например, не что иное, как двумерное множество, так как каждый элемент, точка определяется здесь двумя координатами; физическое пространство — трехмерное множество — оно имеет три измерения; совокупность всех окружностей на плоскости — тоже трехмерное множество: каждый ее элемент — окружность — определяется координатами центра и радиусом.
Множество может состоять и не из геометрических элементов: рой несущихся в пространстве и времени материальных частиц — четырехмерное множество. Можно строить геометрию кругов, шаров, множества цветов, звуков, роя частиц и т. д. Нужно только найти для каждого множества свое мероопределение. То есть геометрия свойственна не только реальному пространству, а любому множеству; ее следует рассматривать не как абсолютно точную геометрию реального пространства, а как приближение, модель форм и отношений этого пространства. Риман приходит к понятию кривизны многообразия. Всякое многообразие имеет свою кривизну. Одна и та же геометрия может иметь несколько истолкований, если она находит свое осуществление на нескольких различных множествах.
В понятие многомерности «римановых пространств» не следует вкладывать ничего мистического: ведь это всего-навсего «идеальные» математические «пространства». Совокупность звуков является двумерным многообразием лишь потому, что они отличаются амплитудой и частотой колебаний; в кинетической теории газов применяют пространство 36×1023 измерений. Риман расщепил пространство на его малые элементы и показал, как из упрощенной метрики элемента, точки разворачивается метрика всего физического пространства.
Пространства Эвклида, Лобачевского, эллиптическое Римана имеют постоянную кривизну; общая геометрия Римана не может обладать постоянной кривизной.
Как видим, Риман мыслил весьма непрямолинейно. Он довершил дело, начатое Лобачевским. Остальным математикам осталось лишь отыскивать все новые и новые множества. Из идей Лобачевского и Римана впоследствии родился четырехмерный мир теории относительности.
Всю эту ученую тарабарщину Гаусс слушал, расплываясь в блаженной улыбке. Наконец-то нашелся достойный ученик, преемник! Предел изощренности. Тут уж все кривое: даже цвета и звуки. А Гаусс обожал кривизну, особенно в математике. Кривизна многообразия… Уплотненность математической мысли Римана поразила «геттингенского колосса», и он из недоброжелателя превратился в поклонника и покровителя крепнущего гения.
Выступать в печати с защитой идей Римана Гаусс все же не стал. Да и не успел: он умер через несколько месяцев. На его рабочем столе нашли два экземпляра «Геометрических исследований» Лобачевского.
Не понятый современниками (ведь человечество — тоже многообразие со своей кривизной в мышлении!), тяжело больной, Риман забросил свой мемуар, находя его недостаточно обработанным. Мемуар нашли в куче бумаг только после смерти ученого. Скончался он в Италии, на сороковом году жизни. Вся его научная деятельность длилась немногим более пятнадцати лет.
Лобачевский никогда не слышал имени Римана; но такова уж геометрия непрерывного многообразия гениальности — в истории науки им стоять рядом.
На русском языке мемуар «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» появился в 1893 году в сборнике, изданном Казанским физико-математическим обществом в связи со столетним юбилеем Лобачевского.
Лобачевский хочет жить, хочет лечиться. Он не утратил своей колоссальной памяти, мозг работает превосходно, обострен, как никогда. А ведь главное — мозг. Эйлер за семнадцать лет слепоты сделал столько же, сколько за всю предыдущую жизнь, — он написал четыреста научных работ! Вон Остроградский, говорят, нечаянно выжег глаз фосфорной спичкой…
Лобачевский сидит в кресле, широко расставив ноги и запрокинув голову, улыбаясь с выражением бесконечной тоски. Он напоминает больного орла. И днем и ночью непроглядный мрак. Мир воспринимается через звуки, осязание, запахи. И лишь во сне по-прежнему сверкает Волга, распускаются хрупкие белые цветы, проходят люди в малиновых, синих, желтых рубахах, полыхают зарницы, зеленеют леса. Он слишком безжалостно растрачивал себя на малейший бумажный пустяк, на дела, на искания. Писал, писал без устали, закрывался в душном сумрачном кабинете; курил, курил, торопился. Он завидовал тем, кто никуда не торопится. Мечтал дорваться до лугов, лесов, плесов, но так и не дорвался. Казалось, что все это еще успеется, никогда не померкнет солнце. Ведь он до конца считал себя молодым, не уставал. Он хладнокровно принимал удары судьбы — так, как и положено мужчине. Он был самым сильным и казался несокрушимым, хоть и прихварывал беспрестанно.
