Вторая книга содержит основы геометрической алгебры. В те времена еще не существовало алгебраической символики, и поэтому в книге приведены геометрические методы решения задач, сводящихся к квадратным уравнениям. Третья книга описывает свойства круга, его касательных и хорд. Она основана на данных, полученных Гиппократом Хиосским – геометром V века до н. э. Четвертая книга посвящена правильным многоугольникам, пятая – теории отношений величин, созданной астрономом и математиком Евдоксом Книдским (около 408–355 гг. до н. э.), шестая – учению о подобиях. Седьмая, восьмая и девятая книги излагают теорию целых и рациональных чисел, которую сформулировали еще пифагорейцы. Многие считают, что эти три книги являются пересказом не сохранившихся до наших дней трудов математика и философа Архита (около 428–365 гг. до н. э.), однако сама теория чисел основывается на «алгоритме Евклида» (о том, что означает это понятие, мы скажем немного позже). Десятая книга (как, впрочем, и тринадцатая), согласно мнению многих исследователей, основана на работах математика Теэтета (IV век до н. э.). Она посвящена квадратичным и биквадратичным иррациональностям, а именно Теэтет и считается автором классификации иррациональностей. В одиннадцатой книге изложены основы стереометрии. В двенадцатой доказываются теоремы о площади круга и объеме шара, выводятся отношения объемов пирамид, конусов, цилиндров и призм. Тринадцатая книга посвящена правильным многогранникам, построение которых тоже считают достижением Теэтета. Кроме этого, некоторые исследователи считают Теэтета непосредственным автором текстов, приведенных в десятой, тринадцатой и, возможно, седьмой книгах «Начал».
Всего в «Началах» Евклид, опираясь на систему определений и аксиом, приводит доказательства 465 теорем. При этом последующие теоремы вытекают из предыдущих или непосредственно из аксиом. Таким образом, можно сказать, что помимо прочего «Начала» наглядно и полно демонстрируют дедуктивный метод и являются самым ранним, из дошедших до нас, сочинением подобного рода.
Как видим, важнейшей заслугой ученого являются не только и даже не столько открытие тех или иных математических закономерностей. Основное его достижение – систематизирование основ современных ему математических знаний. Естественно, что многие выкладки принадлежат и самому Евклиду. Тем не менее, не всегда можно четко сказать, какие результаты были получены самим Евклидом, а какие – просто изложены им. Во всяком случае, великому геометру приписывается создание так называемого «алгоритма Евклида» – способа нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, двух многочленов или наибольшей общей меры двух отрезков. Этот алгоритм позволяет выразить рациональное число в виде цепной дроби и применяется в вычислительной технике. Кроме того, Евклида считают автором некоторых теорем и способов построения геометрических фигур.
Попытки установления авторства тех или иных сведений, изложенных в «Началах», усложняются еще и тем, что этот труд в оригинале до нас не дошел. Самые старые из обнаруженных списков датируются IX веком. Во времена средневековья точные науки в Европе были не в чести. В результате полный текст «Начал» был утрачен. Отдельные фрагменты пришлось восстанавливать по арабским переводам. За это время в результате многочисленных переписываний и переводов в тексты был внесен целый ряд изменений и добавлений. Средневековые ученые пусть и не стремились к научному приоритету, но и не стеснялись дополнять работу предшественника собственными данными. Так что не всегда можно с достоверностью сказать, является ли тот или иной фрагмент оригинальным или же он представляет собой более позднюю вставку.
Кроме «Начал», Евклиду принадлежат еще несколько трудов. Из них до наших дней дошли «Данные», в которых содержатся начала геометрического анализа, астрономический трактат «Явления», «Оптика», «Катоптрика»[2], сборник из десяти задач по музыкальным интервалам «Сечения канона», сборник задач «О делениях», посвященный делению площадей фигур. К сожалению, целый ряд сочинений Евклида был утерян, о них мы знаем по ссылкам других авторов. Например, книгу «Начала конических сечений», содержавшую информацию об одной из вершин античной математики (теории конических сечений) упоминает в своих работах Архимед.
Наш рассказ о великом ученом вышел довольно коротким, конечно же, не из-за того, что Евклид не достоин большего. Слишком много времени прошло с тех пор, когда он создавал свои «Начала», слишком много за это время было утрачено и забыто. Но, как известно, время не властно над истинными ценностями – вклад Евклида в развитие науки огромен и таковым он останется навсегда.
АРХИМЕД
(ок. 287 г. до н. э. – ок. 212 г. до н. э.)
Знаменитый древнегреческий ученый – математик, механик, астроном, физик, инженер, конструктор, изобретатель. Основоположник математической физики, открывший многие из основных законов физики и математики, разработавший методы нахождения площадей, поверхностей и объемов различных фигур и тел, предвосхитившие интегральное исчисление. С его именем связывают введение понятия центра тяжести, открытие законов рычага и разработка основ гидростатики. Автор многих изобретений. Организатор инженерной обороны Сиракуз против римлян.
В век информационных технологий и ярких прорывов в узких областях науки мы привыкли гордиться своими достижениями, забывая при этом, что основы всех наших знаний были заложены учеными в глубокой древности. Именно они стояли у истоков истины и были первопроходцами. А гений Архимеда Сиракузского состоит еще и в том, что он подтвердил большинство своих идей на практике. Наши современники с успехом используют их, но при этом часто не знают, кому они принадлежат. О жизненном же и творческом пути самого ученого известно лишь из воспоминаний и легенд.
Архимед родился около 287 г. до н. э. в г. Сиракузы, на острове Сицилия. В годы, на которые пришлось его детство, эпирский царь Пирр вел здесь войну с римлянами и карфагенянами, пытаясь создать новое греческое государство. В этой войне отличился один из родственников Архимеда – Гиерон, в 270 г. до н. э. ставший правителем Сиракуз. Отец Архимеда, Фидий, был одним из приближенных Гиерона, что позволило ему дать сыну хорошее образование. Есть достаточно оснований считать, что Архимед начинал свою деятельность на поприще практической механики в качестве военного инженера, но тяга к углублению теоретических знаний привела его в Александрию, тогдашний научный центр. Здесь Птолемеи – правители Египта – собрали лучших греческих ученых и мыслителей того времени, а также основали самую большую в мире библиотеку, в которой Архимед проводил много времени, изучая математику и труды Демокрита, Евдокса и др. В эти годы у Архимеда сложились дружеские отношения с астрономом Кононом, математиком и географом Эратосфеном, с которыми он поддерживал в дальнейшем научную переписку, и вообще большинство его работ оформлено в виде посланий александрийским ученым.
