Многодетная семья
Условие
Сколько детей в многодетной семье, если известно, что у каждого сына сестер столько же, сколько и братьев, а у каждой дочери братьев вдвое больше, чем сестер? Сколько братьев и сестер в многодетной семье?
Ответ
В многодетной семье 7 детей: 4 сына и 3 дочери.
Условие
Этому парню по имени Иван не позавидуешь. Вот уже много лет подряд его дед Никита мучает его одним и тем же фокусом. Как только наступает день рождения внука старый скупердяй предлагает ему следующее: дав Ивану десять однодолларовых купюр и десять стодолларовых, он просит разложить их в две одинаковые коробочки. После этого дед завязывает внуку глаза и несколько раз передвигает коробочки по столу – так, чтобы Иван не догадался, где какая. Если внук кладет стодолларовые купюры сверху, вредный старик еще и перемешивает их в коробочке. Затем дед позволяет Ивану вытащить единственную купюру, которая, чаще всего оказывается однодолларовой.
Сгибать, надрывать, сминать и складывать купюры пополам Ивану не разрешается.
Каким образом Иван может увеличить свои шансы на успех и вытащить стодолларовую купюру?
Ответ
Ивану следует положить стодолларовую купюру в одну коробочку, а все остальные – в другую, после чего его шансы попасть в коробочку с заветной купюрой оцениваются как 50 на 50.
Но, если он запустит руку в коробочку с девятнадцатью купюрами, то его шансы выудить стодолларовую составят 9 из 19. Поэтому в целом вероятность того, что Иван достанет желанную купюру, можно определить так:
Это означает, что шансы Ивана вытаскивать ежегодно на свой день рождения по стодолларовой купюре равны 0,7368, или примерно 74 %.
Условие
Звезды балета, сестры Ирина и Елена, вовсе не собирались открывать поклонникам свой возраст. Их пресс-секретарь на вопрос репортеров о возрасте сестер сказал следующее: «Если сложить возраст обеих сестер, в сумме получится 44. Сейчас Ирине вдвое больше, чем было Елене, когда Ирине было наполовину столько же, сколько будет Елене, когда она станет вдвое старше, чем была Ирина тогда, когда ей было в три раза больше, чем тогда Елене».
Сколько лет сестрам?
Ответ
Чтобы ответить на этот вопрос, следует начать решение задачи с конца. Когда Елене было 5,5 лет, Ирине было 16,5 лет, когда Елене будет в три раза столько же, то есть 49,5 лет, то, разделив это число пополам, получим 24 и 3/4. Когда Ирине было столько лет, Елене было 13 и 3/4 лет. Следовательно, возраст Ирины в два раза больше, то есть 27,5 лет. Теперь нетрудно узнать возраст другой сестры: 44–27,5 = 16,5.
Условие
На рисунке 34 числа 1, 18, 17 и 14 стоят в углах воображаемого квадрата и дают в сумме 50. Найдите квадрат (любого размера) с числами, стоящими в его углах, которые давали бы максимальную сумму.
Рис. 34.
Ответ
Максимальная сумма чисел, находящихся в углах квадрата равна 82 (рис. 35).
Условие
Попрыгунья-стрекоза 1/2 каждых суток лета спала, 1/3 каждых суток танцевала, 1/6 часть – пела. Остальное время она решила посвятить подготовке к зиме. Сколько часов в сутки стрекоза готовилась к зиме?
Рис. 35.
Ответ
На подготовку к зиме у стрекозы не оставалось времени.
Условие
Циферблат часов (рис. 36) разбился на четыре части так, что сумма римских чисел на каждом куске стала равняться двадцати. Определите, как треснул циферблат.
Рис. 36.
Ответ
Ответ показан на рисунке 37.
Рис. 37. Разбитый циферблат
Условие
Назовите состоящие из одинаковых цифр числа, сумма которых равна их произведению.
При этом числа должны состоять не менее, чем из двух цифр.
Ответ
Это числа 11 и 1,1. При сложении и перемножении результат равен 12,1.
Условие
В углах квадрата со стороной 10 см находится по таракану. Если все четыре насекомых начнут двигаться одновременно и с постоянной скоростью, каждый – по одной из сторон квадрата по направлению к другому таракану (по часовой стрелке), какое расстояние преодолеет каждый из них до того момента, когда тараканы встретятся?
При этом следует помнить, что тараканы всегда ползут по кратчайшему пути к своей цели. Для точности следует принять тараканов за безразмерную точку.
Ответ
В любой момент времени таракан-преследователь ползет по направлению, перпендикулярному пути преследуемого насекомого. По этой причине последнее никак не может оторваться от преследователя или приблизиться к нему. А таракану-преследователю нужно преодолеть лишь те самые 10 см, которые разделяли их в самом начале.
Условие
На столе лежит колода карт, все карты на месте. Игроки по очереди берут из колоды произвольное количество карт, но не более трех. Выигрывает тот, кто забрал из колоды последние карты (или карту).
Эта игра является самым простым из многочисленных вариантов древней восточной игры Ним.
В одном из розыгрышей победил участник, который ходил первым, причем он был уверен в выигрыше с самого начала.
Определите, какая была колода – пикетная (32 карты), средняя (36 карт) или полная (54 карты)? Объясните свой ответ.
Ответ
Правильная стратегия – всегда оставлять в колоде число карт, кратное четырем. Игрок, который ходит первым, выгрывает в том случае, если в колоде 54 карты.
Первым ходом он берет две карты, а затем, если соперник при ходе берет n карт, всегда должен брать 4 – n.
Если в колоде 32 или 36 карт, при правильной игре соперника тот участник, который ходит первым, проигрывает.
Условие
В государстве Заполярное имеется 999 избирательных округов с одинаковым числом избирателей в каждом. От них нужно выбрать по одному депутату. Однако в этой стране всего три партии – партия любителей водки, партия любителей пива и партия любителей безалкогольных напитков. Согласно проведенным социологическим исследованиям, симпатии населения в Заполярном распределились следующим образом:
– партия любителей водки (PLV) – 15 % избирателей;
– партия любителей пива (PLP) – 30 % избирателей;
– партия любителей безалкогольных напитков (PLBN) – 55 % избирателей.
Если в первом туре ни один кандидат не набирает 50 % голосов, во второй тур проходят двое, набравшие наибольшее число голосов. Так как сторонников партий PLV и PLP объединяет тяга к спиртному, они всегда поддерживают кандидатов друг друга во втором туре (за исключением случаев, когда оба их кандидата проходят во второй тур). Также во втором туре сторонники партии PLBN всегда голосуют за кандидата от партии PLV, если кандидат от PLBN в этом округе проиграл в первом туре.
Оцените, какое наименьшее и какое наибольшее число кандидатов от каждой партии может быть избрано в парламент государства Заполярное.
Ответ
PLV. Минимальное число кандидатов – 0. Теперь определим максимальное число кандидатов. При выборах в два тура оно будет с минимальным перевесом PLV над PLP в части округов, то есть когда PLV наберет 25 % + 1 человек, PLP – 25 %, а PLBN – 50 % – 1 человек. Тогда во второй тур выйдут PLV и PLBN, и PLV при поддержке PLP выиграет с перевесом в 1 голос.
Поскольку PLV имеет 15 % голосов, то 25 % может набрать в 60 % округов, то есть 0,6 х 999 = 599,4 округа. Получается, что PLV может победить максимум в 599 округах. В 600-м округе будет только (0,4 х 0,25) = 0,1 = 10 % избирателей, что недостаточно для прохождения во второй тур, но при достаточно большом числе избирателей в каждом округе должно хватить для обеспечения не 25 %, а 25 % + 1 человек, необходимых для победы в 599 округах.
PLP. Минимальное число кандидатов – 0. Как и в предыдущем случае, попробуем определить максимальное число кандидатов. В 599 округах PLP могут победить аналогично PLV, то есть, набрав в первом туре 25 % + 1 голос, а PLV наберут в этих округах ровно 25 % голосов. В остальных округах сторонников PLV практически не останется, зато сторонники PLP будут. Их количество от общего числа избирателей 999 округов (0,30 -0,25 х 599/999) = 0,14989. Чтобы выиграть в части из оставшихся 400 округов, им необходимо набрать там 50 % голосов. Это возможно в округах в количестве (999 х 0,14989/05) = 299,5.
Таким образом, PLP может победить в (599 + 299) = 898 округах, после чего останется не-задействовано (0,30 – 0,25 х 599/999 – 0,5 х 299/999) = 0,00045 = 0,045 % избирателей. В одном округе это составило бы 0,045 % х 999 = 44,9 %. Но там может быть только (0,15 х 999 – 0,25 х 599) = 0,1 = 10 % сторонников PLV. В таком случае в этом округе во второй тур выходят PLP и PLBN, и во втором туре PLP при поддержке PLV выигрывает. Получается, что PLP может выиграть в 899 округах.
