Докажите, что в матче был такой момент, когда «Дружбе» оставалось забить столько голов, сколько «Мир» уже забил к этому времени.
Ответ
Матч начался с суммарного счета 0, а потом изменялся на единицу и окончательный суммарный счет стал равен 13. Из этого можно сделать вывод, что в матче был такой момент, когда было забито 8 голов.
Пусть n голов забил «Мир», тогда 8-n голов забила «Дружба», что и требовалось доказать.
Условие
Можно ли расположить шахматные фигуры в клетках доски размером 8 х 8 (в каждой клетке не более одной фигуры) так, чтобы в любых двух столбцах фигур было поровну, а в любых двух строках – разное количество?
Ответ
Разобьем строки на 4 пары. В каждой паре строк поставим 8 шахматных фигур: n фигур (n – номер пары строк) – в первой строке данной пары и 8-n фигур – во второй строке пары. Причем расположим их в тех столбцах, в которых не стоит фигура из первой строки данной пары. В результате в каждом столбце доски 8 х 8 будет стоять по 4 фигуры (по одной в каждой паре строк), а в 8 строках – 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8 фигур. Таким образом, условие задачи выполняется.
Условие
При посадке в автобус выстроилась очередь из n пассажиров, у каждого из которых имелся билет на одно из m мест. Первым в очереди стоял вредный старик, который, как только водитель открыл дверь, вбежал в салон и сел на случайное место (возможно, и на свое).
После этого пассажиры по очереди заняли свои места. При этом, если место кого-нибудь из пассажиров занято, он садится случайным образом на одно из свободных мест.
Какова вероятность того, что последний пассажир займет свое место?
Ответ
Представим, что при определенном стечении обстоятельств последний пассажир сел не на свое место (такой случай назовем неудачным). Тогда до прихода последнего пассажира его место было занято пассажиром S (S может быть и вредным стариком).
У пассажира S был выбор – какое место занять. В рассматриваемом случае он занял место последнего пассажира. Но с этой же вероятностью он мог занять и место вредного старика, тогда в дальнейшем все пассажиры, включая последнего, займут свои собственные места. Получается, что каждому неудачному случаю соответствует удачный, который может произойти с той же вероятностью. Это говорит о том, что в половине случаев распределение пассажиров по местам будет неудачным.
Условие
Можно ли из любых пяти чисел, написанных в ряд, выбрать три, идущие в порядке убывания или в порядке возрастания?
Ответ
Предположим, что n и s – наибольшее и наименьшее из написанных чисел. Если между ними есть какое-либо число, то утверждение верно.
Если они располагаются рядом, то либо справа, либо слева от них есть еще два числа. Именно они и образуют нужную тройку чисел либо с числом n, либо с числом s.
Условие
Можно ли из любых девяти различных чисел, написанных в ряд, выбрать четыре, идущих в порядке убывания или возрастания?
Ответ
Напишем ряд из следующих девяти чисел: 3, 2, 1, 6, 5, 4, 9, 8, 7. Докажем, что никакие четыре числа в этой последовательности не идут ни в порядке возрастания, ни в порядке убывания. Для этого разобьем их на тройки: 321, 654, 987.
Если какие-то два числа из этих девяти упорядочены по возрастанию, они будут из разных троек. Поскольку троек всего три, нельзя выбрать более трех цифр, располагающихся в возрастающем порядке.
Если же какие-то два числа из этих девяти стоят в убывающем порядке, они обязательно из одной тройки. Поэтому нельзя выбрать более трех чисел, стоящих в убывающем порядке, так как все они должны располагаться в одной тройке.
Хитрая последовательность чисел
Условие
Продолжите следующую последовательность чисел:
1, 11, 21, 1112, 3112, 211213, 312213, 212223, 114213.
Ответ
Каждое следующее число описывает предыдущее: в числе была одна единица – 11; две единицы – 21; одна единица, одна двойка – 1112, три единицы, одна двойка – 3112 и т. д.
Условие
Главный редактор газеты «Новость дня» Матвей Сигизмундович нашел ошибку в большой статье, которую писали вместе три журналиста: Арнольд Никифорович, Петр Вахтангович и Ричард Львович.
На планерке они стали оправдываться.
Арнольд Никифорович: 1. «Не я ошибся». 2. «Ошибку допустил Ричард Львович». 3. «Я написал другую часть статьи».
Петр Вахтангович: 1. «Ошибся Арнольд Никифорович». 2. «Я знаю, как исправить эту ошибку». 3. «Всем людям свойственно ошибаться».
Ричард Львович: 1. «Не я ошибся». 2. «Я с самого начала подозревал, что в статье – ошибка». 3. «Арнольд Никифорович действительно писал другую часть статьи».
Ответ
Предположим, что ошибку допустил Арнольд Никифорович. Но тогда неверны сразу два его высказывания, что противоречит условию задачи.
Предположим, что ошибся Петр Вахтангович. Построим схему, в которой словом «нет» отмечены заведомо ложные в этом случае высказывания, а словом «да» – те, которые могут быть правдивыми.
Арнольд Никифорович: 1 – да;2 – нет; 3 – да.
Петр Вахтангович: 1 – нет; 2 – да; 3 – да.
Ричард Львович: 1 – да; 2 – нет; 3 – да.
Схема показывает, что противоречий с условием не возникает, то есть Петр Вахтангович мог ошибиться.
Предположим, что ошибся Ричард Львович. Тогда неверно третье высказывание Арнольда Никифоровича (поскольку два первых его высказывания верны), поэтому неверно третье высказывания Ричарда Львовича (оно точно такое же), но тогда верно первое высказывание Ричарда Львовича (только одно из его высказываний – третье – неверно), а это противоречит предположениям.
Итак, ошибиться мог только Петр Вахтангович, значит, он это и сделал.
Условие
Группа туристов ночью подошла к мосту. Павел может перейти его за 1 минуту, Михаил – за 2, Мария – за 5, а Белла – за 10 минут.
У них есть только один фонарик. Мост может выдержать только двоих.
Как туристы могут перейти мост за 17 минут? При этом, если переходят двое, они идут с меньшей из скоростей.
Двигаться по мосту без фонарика нельзя точно так же, как и носить друг друга на руках. Кидаться фонариком тоже нельзя.
Ответ
Сначала переходят Павел и Михаил (2 минуты). Затем Павел с фонариком возвращается (1 минута).
Далее переходят Белла и Мария (10 минут), после чего Михаил с фонариком возвращается (2 минуты). Потом переходят Павел и Михаил (2 минуты). Итого – 17 минут.
Условие
Можно ли число 203 представить в виде суммы нескольких натуральных чисел так, чтобы произведение всех этих чисел тоже было равно 203?
Ответ
Можно: 203 = 7 + 29 + 1 + 1 + ... + 1 = 7 х 29 х 1 х 1 х ... х 1.
Условие
Как известно, бикфордов шнур горит неравномерно, но сгорает ровно за 1 минуту.
Можно ли с помощью двух таких шнуров отмерить ровно 45 секунд?
Ответ
Подожжем одновременно один из шнуров с обоих концов и второй – с одного конца.
Подсказка: попробуйте сначала при помощи одного шнура отмерить 30 секунд.
Первый шнур сгорит через 30 секунд; в этот момент подожжем второй шнур со второго конца.
Как не опоздать на работу
Условие
Коллектив сотрудников (12 человек) отправился на выходные на турбазу, расположенную в 20 км от места их работы. В понедельник утром они должны были одновременно как можно скорее прибыть на работу. Для этого они остановили такси.
«Я еду со скоростью 20 км/час, – сказал водитель, – и могу взять только 4 человека. С какой скоростью вы идете пешком?». Один из сотрудников ответил: «Каждый из нас идет со скоростью 4 км/час». «Отлично!» – воскликнул водитель. – Тогда я поеду с четверыми из вас, подвезу их на какое-то расстояние, затем вернусь и посажу еще четверых, подвезу их и вернусь за остальными. От вас же требуется только одно: все время, пока вы не едете на такси, идти пешком».
Подсказка: если сотрудники должны прибыть на работу одновременно, и все время, когда они не едут на такси, они должны идти пешком, то ехать на машине они должны одинаковое количество времени.
Сотрудники отправились в путь ровно в 8 утра. Когда они приедут на работу?
Ответ
Водитель такси должен подвезти четверых сотрудников на 12 км и высадить в 8 км от работы. Затем ему следует вернуться на 8 км и подобрать еще четверых (из восьми), которые к тому времени как раз окажутся там. Их ему нужно подвезти на 12 км и высадить в 4 км от работы.
Затем, вернувшись на 8 км за остальными, которые к тому времени успеют пройти 8 км, отвезти их на 12 км, то есть прямо до места работы.
