Ахилл: Я весь внимание!
Черепаха: Так вот, в своем письме тот любитель предложил Эйлеру следующую недоказанную гипотезу «Любое четное число, большее двух, можно представить как сумму двух простых чисел.» Как же бишь его звали…
Ахилл: Я припоминаю, что уже читал об этом в какой-то математической книге. Кажется, его звали Купфергёдель.
Черепаха: Гмм… Нет, это звучит слишком длинно.
Ахилл: Может, тогда Зильберэшер?
Черепаха: Да нет, это все не то. У меня то имя прямо на языке вертится… ах, да! Гольдбах! Гольдбах была его фамилия.
Ахилл: Так я и думал.
Черепаха: Да, и ваши попытки мне здорово помогли. Странно, как иногда нам приходится искать в памяти, словно в библиотеке, когда пытаешься найти книгу, не зная ее шифра. Но вернемся к числу 1742.
Ахилл: Действительно. Я хотел спросить, доказал ли Эйлер, что догадка Гольдбаха верна?
Черепаха: Он никогда не считал, что на нее стоит тратить время. Однако не все математики разделяли это пренебрежение. В действительности, многие пытались доказать «Гипотезу Гольдбаха» — она стала известна под этим именем.
Ахилл: И удалось кому-нибудь ее доказать?
Черепаха: Пока нет, но некоторые математики были очень близки к успеху. Например, в 1931 году Шнирельман, русский специалист по теории чисел, доказал, что любое число, четное или нечетное, может быть представлено как сумма не более чем 300 000 простых чисел.
Ахилл: Какой странный результат. Какая же от него польза?
Черепаха: Он ограничил проблему, переведя ее в финитную область. До Шнирельмановского доказательства думали, что если брать большие и большие четные числа, то чтобы их представить, понадобится все большее количество простых чисел. Для того, чтобы представить некоторые четные числа, мог понадобиться миллиард простых чисел! Теперь известно, что это не так — суммы 300 000 (или меньше) простых чисел всегда оказывается достаточно.
Ахилл: Теперь понимаю.
Черепаха: Вскоре, в 1937 году, один хитроумный тип по имени Виноградов — тоже русский — еще больше приблизился к желанному результату: он доказал, что любое достаточно большое нечетное число может быть представлено в виде суммы не более чем ТРЕХ нечетных простых чисел. Например, 1937 = 641 + 643 + 653. Можно сказать, что нечетное число, которое может быть представлено как сумма трех нечетных простых чисел, имеет «свойство Виноградова». Таким образом, все достаточно большие нечетные числа обладают свойством Виноградова.
Ахилл: Хорошо — но что означает «достаточно большие»?
Черепаха: Это значит, что некоторое количество нечетных чисел могут не иметь этого свойства, но существует некое число — назовем его «v» — после которого все нечетные числа обладают свойством Виноградова. Однако сам Виноградов не знал величины этого v. Так что, в каком-то смысле, v похоже на g — конечное, но неизвестное число «Гольдберг-вариаций». Знать, что v конечно, — это не то же самое, что знать его величину. Следовательно, этой информации недостаточно, чтобы определить, когда нечетное число, представимое более, чем тремя простыми числами, окажется действительно последним.
Ахилл: А-а, понятно. Значит, любое достаточно большое число 2N может быть представлено как сумма ЧЕТЫРЕХ простых чисел, если сначала представить 2N - 3 в виде суммы трех простых, и затем снова прибавить 3.
Черепаха: Совершенно верно. Другая попытка, близко подошедшая к доказательству этой гипотезы, представлена следующей Теоремой: «Все четные числа могут быть представлены в виде суммы простого числа и произведения по меньшей мере двух простых чисел».
Ахилл: Как я погляжу, этот вопрос о сумме двух простых чисел завел нас с вами в настоящие дебри. Интересно, а куда бы мы забрались, если бы стали исследовать РАЗНОСТИ двух нечетных простых чисел? Держу пари, что мне удастся кое-что понять в этой головоломке, если я опять составлю табличку, на этот раз представляя четные числа в виде разности двух нечетных простых чисел. Посмотрим…
2 = 5 — 3, 7 — 5, 13 — 11, 19 — 17 и т. д.
4 = 7 — 3, 11 — 7, 17 — 13, 23 — 19 и т. д.
6 = 11—5, 13 — 7, 17 — 11, 19 — 13 и т. д.
8 = 11—3, 13 — 5, 19 — 11, 31 — 23 и т. д.
10 = 13 — 3, 17 — 7, 23 — 13, 29—19 и т. д.
Батюшки мои! Кажется, что различным вариантам нет конца! Но я пока не вижу в таблице никакой простой закономерности.
Черепаха: Может быть, здесь никакой закономерности и нет.
Ахилл: Ах, опять эти ваши туманные рассуждения о хаосе! Увольте, прошу вас — на этот раз я не хочу об этом слышать.
Черепаха: Вы считаете, что любое четное число может каким-то образом быть представлено в виде разности двух нечетных простых чисел?
Ахилл: Из моей таблички следует, что да. Но может быть, и нет… Однако так мы далеко не уедем!
Черепаха: Со должным уважением позволю себе заметить, что в эти материи можно проникнуть и поглубже.
Ахилл: Забавно, насколько эта проблема схожа с первоначальным вопросом Гольдбаха. Надо бы назвать ее «Гольдбах-вариации».
Черепаха: И правда. Однако позвольте мне указать вам на огромную разницу между Гипотезой Гольдбаха и этой Гольдбах-вариацией. Предположим, что некое четное число 2N обладает «свойством Гольдбаха», если оно равняется СУММЕ двух нечетных простых чисел, и «свойством Черепахи», если оно равняется РАЗНОСТИ двух нечетных простых чисел.
Ахилл: Мне кажется, справедливей называть это «свойством Ахилла». В конце концов, эту задачу предложил я!
Черепаха: Я собиралась предложить, чтобы мы считали, что число, у которого НЕТ свойства Черепахи, обладает «свойством Ахилла».
Ахилл: А, ну ладно…
Черепаха: Как вы думаете, обладает ли триллион свойством Гольдбаха или свойством Черепахи? Разумеется, он может иметь оба свойства…
Ахилл: Я, конечно, могу над этим подумать, но сомневаюсь, чтобы я мог ответить на ваши вопросы.
Черепаха: Не сдавайтесь так быстро. Представьте, что я попросила вас ответить на один из них. Над каким вопросом вы предпочли бы подумать?
Ахилл: Наверное, мне пришлось бы бросить монетку. По-моему, между этими вопросами нет особой разницы.
Черепаха: Ага! Вот тут вы и ошибаетесь. Между ними огромная разница! Если вы выберете свойство Гольдбаха, где идет речь о СУММАХ, то вам придется иметь дело только с простыми числами между двумя и триллионом, не так ли?
Ахилл: Разумеется.
Черепаха: А раз так, то ваш поиск рано или поздно ОБЯЗАТЕЛЬНО КОНЧИТСЯ…
Ахилл: А-а-а… Понятно. С другой стороны, если я начну работать над представлением триллиона в форме РАЗНОСТИ двух простых чисел, я могу использовать сколь угодно большие числа. Они могут быть так велики, что мне придется просидеть за работой триллион лет.
Черепаха: Хуже того, они могут вообще НЕ СУЩЕСТВОВАТЬ! В конце концов, именно в этом и состоял вопрос: существуют ли такие простые числа? Нас не интересовало, как велики они могут оказаться.
Ахилл: Вы правы. Если бы они не существовали, мой поиск мог продолжаться вечно, и я не ответил бы ни да ни нет. И тем не менее, ответ был бы отрицательным.
Черепаха: Таким образом, если у вас есть какое-то число и вы хотите проверить, обладает ли оно свойством Гольдбаха или свойством Черепахи, разница будет заключаться в следующем: поиск свойства Гольдбаха ОБЯЗАТЕЛЬНО ЗАКОНЧИТСЯ, в то время как поиск свойства Черепахи ПОТЕНЦИАЛЬНО БЕСКОНЕЧЕН — у нас нет никаких гарантий. Он может запросто тянуться до бесконечности, не давая нам никаких ответов. И тем не менее, в некоторых случаях он может закончиться на первом же шаге.
Ахилл: Я вижу, что между свойством Гольдбаха и свойством Черепахи действительно существует огромная разница.
