Черепаха: Вы правы; эти проблемы, столь схожие по виду, на самом деле имеют дело с весьма различными свойствами. Гипотеза Гольдбаха утверждает, что все четные числа обладают свойством Гольдбаха; вариация Гольдбаха — что все четные числа обладают свойством Черепахи. Обе задачи еще не решены, и интересно то, что хотя они звучат очень похоже, в них идет речь об очень разных свойствах целых чисел.
Ахилл: Я понимаю, что вы имеете в виду. Для любого четного числа свойство Гольдбаха — вполне определенная вещь, так как мы знаем, что если поискать, всегда можно узнать, обладает ли данное число этим свойством. Свойство Черепахи, с другой стороны, гораздо менее определенно, так как одной грубой силой тут не возьмешь — сколько ни ищи, а ответа можешь так и не найти.
Черепаха: Все же мне кажется, должны существовать какие-нибудь способы получше; может быть с помощью одного из них мы смогли бы всегда доходить до конца, устанавливая, есть ли у данного числа свойство Черепахи.
Ахилл: Но и тогда поиск кончался бы только в случае положительного ответа.
Черепаха: Не обязательно. Должно существовать доказательство того, что если поиск продолжается дольше определенного времени, ответ должен быть отрицательным. Мне кажется, что можно найти и совершенно ИНОЙ способ поиска простых чисел, способ, не требующий грубой силы. Он гарантировал бы, что если такие числа существуют, мы их найдем. А если нет — сможем это доказать. Так или иначе, в любом случае поиск завершался бы даже в случае отрицательного ответа. Но я не уверена, что все это можно доказать. Поиск в бесконечных пространствах — дело непростое, знаете ли…
Ахилл: Значит, на данный момент вы не знаете ни одного способа конечного поиска для нахождения свойства Черепахи — но тем не менее, такой способ МОЖЕТ существовать.
Черепаха: Верно. Можно бы, конечно, начать поиск такого поиска — но я не гарантирую, что подобный «мета-поиск», в свою очередь, окажется конечным.
Ахилл: Удивительно то, что если у какого-нибудь четного числа — скажем, у триллиона — не оказалось бы свойства Черепахи, то этим оно было бы обязано бесконечному числу единиц информации. Забавно подумать, что все эта информация может быть собрана в пучок и названа, согласно вашему галантному предложению, «свойством Ахилла» одного триллиона. На самом деле, это свойство всей системы, а не одного числа.
Черепаха: Это интересное наблюдение, Ахилл, но я все-таки думаю, что правильнее относить этот факт именно к триллиону. Представьте себе для примера простенькое утверждение «29 — простое число». На самом деле это означает, что 2, умноженное на 2, не равно 29; 5, умноженное на 6, не равно 29, и так далее. Вы согласны?
Ахилл: Ну, предположим…
Черепаха: Тем не менее вы спокойно можете собрать все эти факты вместе, связать их в пучок и привязать к числу 29, сказав «29 — простое число», не так ли?
Ахилл: Да…
Черепаха: И при этом число фактов бесконечно, поскольку мы можем также сказать, что «4444, умноженное на 3333, не равно 29».
Ахилл: Строго говоря, вы правы. Однако мы оба знаем, что 29 не может равняться произведению двух чисел, каждое из которых больше него самого. А раз так, то, говоря «29 — простое число», мы учитываем только ограниченное количество из всех фактов, известных нам об умножении.
Черепаха: Вы можете смотреть на это и так, но учтите, что сам факт, что 29 не может быть произведении двух чисел, больших чем оно само, основан на структуре численной системы в целом. В этом смысле, этот факт сам включает в себя бесконечное множество фактов. Вам, Ахилл, никуда не деться от того, что, говоря «29 — простое число», вы на самом деле утверждаете бесконечное множество фактов.
Ахилл: Не знаю, не знаю — мне это кажется лишь одним фактом.
Черепаха: Это происходит потому, что эти бесконечные факты составляют часть вашего предыдущего знания; они косвенно влияют на то, как вы смотрите на вещи. Вы не замечаете бесконечности, так как она скрыта внутри образов, возникающих в вашем сознании.
Ахилл: Наверное, вы правы. И все-таки мне кажется весьма странным объединить свойства системы чисел как целого и именовать результат «простотой числа 29».
Черепаха: Может, оно и выглядит странным, но это весьма полезный способ смотреть на вещи. Давайте теперь вернемся к вашей гипотезе. Если, как вы предположили, триллион обладает свойством Ахилла, то какое бы простое число мы к нему ни прибавили, мы никогда не получим другого простого числа. В таком положении дел было бы виновато бесконечное количество отдельных математических «событий». Исходят ли все эти «события» из одного и того же источника? Имеют ли они общую причину? Если нет, то значит, за наш факт ответственно некое «бесконечное совпадение» , а не какая-либо закономерность.
Ахилл: «Бесконечное совпадение»? В царстве натуральных чисел НИЧТО не бывает случайно — любое событие там основано на некой регулярности, скрытой или явной. Возьмите вместо триллиона семерку — она меньше и с ней полегче обращаться. У 7 есть свойство Ахилла.
Черепаха: Вы уверены?
Ахилл: Конечно, и вот почему. Если к 7 добавить 2, то вы получите 9 — число не простое; если же добавить к 7 любое другое простое число, то вы будете складывать два нечетных простых числа, результатом чего будет четное число — так что простого числа снова не получается. Так что здесь, если можно так выразиться, «Ахильность» семерки объясняется не бесконечным числом причин, но всего двумя, что весьма далеко от «бесконечного совпадения». Это только подтверждает то, что я уже сказал: для того, чтобы объяснить какую-либо арифметическую истину, нам никогда не понадобится бесконечное число причин. Если бы существовал такой арифметический факт, который был результатом бесконечного числа не связанных между собой совпадений, то мы никогда не смогли бы найти конечное доказательство этой истины — а это просто смешно.
Рис. 71. М. К. Эшер. «Порядок и хаос» (литография, 1950).
Черепаха: Это звучит вполне разумно, и вы не первый, кто высказывает подобное мнение. Однако —
Ахилл: Неужели есть кто-нибудь, кто не согласен с этой точкой зрения? Такие люди должны верить в «бесконечные совпадения», в наличие хаоса среди самого совершенного, гармонического и прекрасного среди всех творений — системы натуральных чисел.
Черепаха: Может, так они и считают — но задумывались ли вы когда-нибудь о том, что хаос может быть неотъемлемой частью красоты и гармонии?
Ахилл: Хаос — часть совершенства? Порядок и хаос в приятном единении? Да это же ересь!
Черепаха: Ваш любимый художник, М. К. Эшер, как-то провел эту еретическую идею в одной из своих картин. Кстати, раз уж мы заговорили о хаосе, я думаю, вам будет интересно услышать о двух различных категориях поиска, каждая из которых непременно закончится.
Ахилл: Разумеется.
Черепаха: Пример первого — нехаотичного — вида поиска мы находим в проверке на свойство Гольдбаха. Надо просто перебирать простые числа, меньшие 2N, и если какая-нибудь пара таких чисел при сложении дает 2N, то следовательно 2N обладает свойством Гольдбаха; в противном случае, оно им не обладает. Подобная проверка не только наверняка закончится — вы даже можете предсказать, КОГДА она закончится.
Ахилл: Значит, это ПРЕДСКАЗУЕМО КОНЧАЮЩАЯСЯ проверка. Теперь вы, наверное, скажете мне, что некоторые теоретико-числовые свойства нуждаются в другого рода проверке, которая когда-либо кончится, но неизвестно, когда?
Черепаха: Вы как в воду глядите, Ахилл. И существование подобного типа проверки доказывает, что системе натуральных чисел в некотором роде присущ хаос.
Ахилл: Я бы сказал, что об этой проверке просто слишком мало известно. Если как следует поработать, я уверен, что можно было бы определить, как долго она продлится, прежде чем придет к концу. Ведь должен же быть какой-то смысл в структурах целых чисел! Никогда не поверю, что эта система хаотична и непредсказуема.
