что случилась следом за счастливой полосой, скорее будет неудачной — такой, которую невозможно определить как часть полосы везения. Это перечеркивает вычисления, основанные на предположении о случайности событий, что, в свою очередь, опровергает заключение, будто баскетболисты так же непоследовательны, как колесо рулетки [194].
Ошибка ошибки «горячей руки» преподает нам три урока. Во-первых, события могут быть статистически зависимыми не только если одно из них является причиной другого, но и если оно влияет на то, какое событие выбирается для сравнения. Во-вторых, ошибка игрока может возникать благодаря отчасти рациональному свойству восприятия: когда мы ищем цепочки идентичных исходов в длинном ряду событий, череда определенной длины действительно с большей вероятностью прервется, чем продолжится. В-третьих, вероятность действительно бывает глубоко неинтуитивна: даже знатоки способны наделать ошибок в вычислениях.
* * *
Теперь давайте рассмотрим вероятность дизъюнкции событий, Р(А или В). Она равна сумме вероятностей А и В по отдельности минус вероятность (А и В). Если у Браунов двое детей, то вероятность, что хотя бы один из них — девочка (то есть что первый ребенок — девочка или второй ребенок — девочка), равна 0,5 + 0,5–0,25, то есть 0,75. Тот же результат мы получим, перечислив комбинации: три варианта (мальчик — девочка, девочка — девочка, девочка — мальчик) из четырех (мальчик — девочка, мальчик — мальчик, девочка — мальчик, девочка — девочка). Можно еще подсчитать частоту: на большой выборке семей с двумя детьми вы обнаружите, что в 75 % из них растет хотя бы одна девочка.
Формула вероятности разделительного высказывания подсказывает, где ошибся телеметеоролог, заявивший, что в выходные обязательно прольется дождь, потому что и в субботу, и в воскресенье вероятность дождя составляет 50 %: сложив две вероятности, он дважды посчитал все те выходные, в которые дождь будет идти два дня подряд, то есть забыл вычесть конъюнкцию, равную 0,25. Он применил правило, которое работает для исключающего или (XOR), а именно А или В, но не то и другое одновременно. Вычисляя дизъюнкцию взаимно исключающих событий, складывать их вероятности можно: их сумма всегда будет равна единице. Вероятность, что ребенок окажется либо мальчиком (0,5), либо девочкой (0,5), равна сумме двух этих вероятностей, то есть 1, других вариантов нет (для наглядности я придерживаюсь здесь идеи гендерной бинарности и не учитываю интерсекс-детей). Забыв об этой разнице и спутав пересекающиеся события со взаимно исключающими, можно получить умопомрачительные результаты. Представьте, что метеоролог предсказывает 50 %-ную вероятность дождя в субботу, в воскресенье и в понедельник и заключает, что на протяжении длинных выходных дождь прольется с вероятностью 1,5.
Вероятность дополнения события, а именно P(не-А) (А не случится), равна 1 минус вероятность P(А) (А случится). Это удобно, когда нам нужно оценить вероятность «как минимум одного» события. Помните Браунов с их то ли двумя, то ли одной дочкой? Как минимум одна дочка — это то же самое, что не все дети — сыновья, и вместо вычисления дизъюнкции (первый ребенок девочка или второй ребенок девочка) мы можем вычислить дополнение конъюнкции: 1 минус вероятность рождения двух мальчиков (которая равна 0,25), и получить в итоге 0,75. В случае двух событий неважно, какой из формул пользоваться. Но если нам нужно посчитать вероятность как минимум одного А в крупном наборе событий, правило дизъюнкции потребует кропотливого сложения и вычитания массы комбинаций. Гораздо легче вычислить вероятность «не все не-А», то есть 1 минус произведение всех вероятностей А.
Предположим, например, что каждый год характеризуется 10 %-ной вероятностью начала войны. Каковы шансы, что на протяжении десяти лет разразится хотя бы одна война? (Давайте примем, что войны — независимые, а не контагиозные события, какими они, похоже, являются.) [195] Вместо того чтобы прибавлять к вероятности войны в год № 1 вероятность войны в год № 2 и вычитать из этой суммы вероятность того, что война начнется и в год № 1, и в год № 2 и так далее для всех возможных комбинаций, мы можем просто вычислить шансы, что никакой войны за десять лет не вспыхнет, и вычесть их из единицы. Вероятность десяти мирных лет равна вероятности, что война не начнется в каждый отдельный год из этих десяти, а именно 0,9, умноженному само на себя десять раз (0,9 × 0,9 × …0,9, или 0,910, что равно 0,35). Вычтя 0,35 из единицы, получаем 0,65.
* * *
И наконец, мы добрались до условной вероятности: вероятности А при условии, что В верно, что записывается как Р(А|В). Смысл этого понятия прост: это всего лишь вероятность то в связке если-то. Рассчитать ее тоже не сложно: это вероятность (А и В), деленная на вероятность В. Тем не менее условная вероятность — источник бесчисленных конфузов, просчетов и промахов при оценке вероятности, начиная с ошибки, которую совершает безнадежный идиот из приведенного ниже комикса XKCD [196]. Он спутал простую вероятность, или базовую оценку риска гибели от удара молнии, Р(убит молнией) с условной вероятностью погибнуть от удара молнии при условии, что ты находишься на улице в сильную грозу: Р(убит молнией | на улице в сильную грозу).
Хотя расчет условной вероятности прост, интуитивно его не ухватишь, пока не представишь себе ситуацию и не конкретизируешь ее (как всегда). Взгляните на диаграммы Венна, где площадь областей на листе соотносится с числом исходов. Прямоугольник, площадь которого принимается за единицу, соответствует всей совокупности возможных исходов. Круг А заключает в себе все события А, и на рисунке слева вверху видно, что вероятность А равна соотношению площади круга А (выделенного темным цветом) к площади светло-серого прямоугольника — другими словами, числу случившихся событий, деленному на число его возможностей случиться. Рисунок справа вверху иллюстрирует вероятность (А или В) — это вся темная зона, то есть площадь А плюс площадь В минус та долька, где множества А и В пересекаются — (А и В), а иначе мы посчитаем ее дважды. Эта же долька, Р (А и В), выделена темным цветом на нижнем левом рисунке.
Рисунок, помещенный внизу справа, раскрывает смысл понятия условной вероятности. Здесь видно, что при таком расчете мы должны игнорировать пространство всех теоретически возможных исходов (белого цвета) и сосредоточить внимание только на исходах, когда случилось В, то есть на светло-сером круге B. Давайте попробуем вычислить, какую долю от них составляют такие, где случилось и А тоже, — это площадь дольки (А и В), деленная на площадь круга В. Какая доля
