случаев появления человека на улице в сильную грозу (В) завершилась гибелью от удара молнии (А
и В)? Вот почему мы вычисляем условную вероятность Р(А|В) путем деления вероятности конъюнкции Р(А
и В) на базовую оценку Р(В).
Вот пример: у Греев двое детей. Старшая — девочка. Какова при этом вероятность, что дочек у Греев две? Давайте переведем вопрос в термины условной вероятности, то есть вероятности, что первый ребенок — девочка и второй ребенок — девочка, при условии, что первый ребенок — девочка. Это можно записать так: Р (1-й = девочка и 2-й = девочка | 1-й = девочка). Следуя формуле, нам нужно разделить конъюнкцию, которая, как мы уже подсчитали, равна 0,25, на вероятность появления на свет первой девочки, которая составляет 0,5; в результате мы получим 0,5. Или, если рассуждать в классической парадигме, разделив один исход (девочка — девочка) на две возможности (девочка — девочка и девочка — мальчик), получим 1/2.
Условная вероятность помогает уточнить понятие статистической независимости, объяснение которого я не довел до конца. Теперь мы можем дать такое определение: А и В независимы, если для всех В вероятность А при условии В равна вероятности А (и то же самое верно для В). Помните ошибку перемножения вероятностей при вычислении конъюнкции зависимых событий? Хотите узнать правильное решение? Легко: вероятность конъюнкции P(А и В), если они не являются независимыми, равна вероятности А, умноженной на вероятность В при условии А, то есть Р(А) × Р(В|А).
Зачем я так и сяк кручу понятие условной вероятности, объясняя его то словами, то логическими функциями, то математическими формулами, то диаграммой Венна? Потому что условная вероятность — источник стольких ошибок, что еще одно объяснение лишним не будет [197].
Если вы мне не верите, подумайте об Уайтах, еще одной семье с двумя детьми. Как минимум один из детей — девочка. Какова вероятность, что оба ребенка девочки, то есть условная вероятность рождения двух девочек при условии, что одна девочка в семье точно есть, или, в математической записи, Р(1-й = девочка и 2-й = девочка | 1-й = девочка или 2-й = девочка)? Эту задачку верно решают столь немногие, что статистики называют ее парадоксом мальчика и девочки. Самый частый ответ 0,5; правильный — 0,33. Конкретное мышление в этом случае может привести к ошибке: люди представляют себе старшую девочку, понимают, что у нее может родиться либо брат, либо сестра, и решают, что сестра здесь — один шанс из двух. Они забывают, что эта известная нам девочка может оказаться младшей, а не старшей сестрой. Если правильно перечислять возможные варианты, мы получим один исход (девочка — девочка), деленный на три возможности (девочка — девочка, девочка — мальчик, мальчик — девочка), то есть 1/3. Или, по формуле условной вероятности, нужно разделить P(девочка и девочка), то есть 0,25, на P(девочка или девочка), то есть 0,75.
Парадокс мальчика и девочки — не просто математический трюк. Он порождается неспособностью нашего воображения пересчитать все возможные варианты и проявляется во множестве ипостасей, включая парадокс Монти Холла. Вот вам простой, но не менее точный эквивалент [198]. Уличные шулеры зарабатывают на жизнь, вовлекая прохожих в игру «Три карты в шляпе». Шулер показывает вам карту, красную с обеих сторон, карту, белую с обеих сторон, и карту, красную с одной стороны и белую с другой. Затем он кладет их в шляпу, встряхивает, вытаскивает одну, демонстрирует, что с лицевой стороны она, скажем, красная, и предлагает поспорить на деньги, что с изнанки она тоже красная (вы отдадите доллар, если изнанка красная, шулер отдаст доллар, если она белая). Это ловушка: шансы, что обратная сторона красная, составляют два к трем. Простаки мысленно пересчитывают карты, вместо того чтобы считать их стороны, забывая, что для красной с обеих сторон карты существует две возможности выпасть красной стороной вверх.
Кстати, помните парня, который пронес бомбу с собой в самолет? Он подсчитал общую вероятность того, что в самолете окажется две бомбы сразу. Но, притащив на борт свою собственную, он уже исключил из рассмотрения большую часть возможностей, представленных знаменателем. Вероятность, которая на самом деле должна его волновать, — условная вероятность присутствия на борту самолета двух бомб, при условии, что одна, его собственная, там уже есть (вероятность чего равна единице). А эта вероятность равна вероятности, что бомбу на борт пронесет кто-то еще, умноженной на 1 (конъюнкция его бомбы и чужой) и разделенной на 1 (вероятность его бомбы), что в итоге, естественно, равно вероятности того, что кто-то другой пронесет на борт бомбу, то есть как раз тому, с чего он и начинал. Эту шутку с успехом использовали в кинофильме «Мир по Гарпу» (The World According to Garp, 1982). Гарп приценивается к дому, когда в здание врезается легкомоторный самолет. Гарп говорит: «Мы его берем. Шансы, что в него врежется еще один самолет, астрономически малы» [199].
Забыть внести в базовую оценку вероятности поправку на заведомо имеющиеся особые обстоятельства — бушующую над вами грозу, бомбу, которую вы принесли с собой, — типичная ошибка при вычислении вероятностей. В 1995 г. в ходе суда над известным футболистом О. Дж. Симпсоном, обвиненным в убийстве жены Николь, прокурор привлек внимание присяжных к тому факту, что Симпсон неоднократно избивал супругу. Адвокат, член нанятой Симпсоном «команды мечты», ответил на это, что очень немногие бьющие жен мужья убивают своих жен — примерно один из двух с половиной тысяч. Ошибку заметила профессор-филолог Элейн Скарри. Николь Симпсон была не просто женщиной, которую бил муж. Она была жертвой избиений, которой к тому же перерезали горло. Так что считать здесь нужно условную вероятность того, что некто убил свою жену при условии, что он ее избивал и она была в итоге убита. А эта вероятность составляет уже 8 из 9 [200].
* * *
Еще одна распространенная ошибка при вычислении условной вероятности — спутать вероятность А при условии В с вероятностью В при условии А, что можно назвать статистическим эквивалентом подтверждения консеквента — перехода от если Р, то Q к если Q, то Р [201]. Помните ипохондрика Ирвина, который был уверен, что у него болезнь печени, потому что его симптомы идеально подходили под описание: никакого дискомфорта? Ирвин спутал вероятность отсутствия симптомов при условии заболевания печени (высокую) с вероятностью заболевания печени при условии отсутствия симптомов (низкую). Загвоздка тут в том, что вероятность заболевания печени (ее базовая оценка) низка, а вероятность отсутствия дискомфорта высока.
Если
