Волшебники озадачены тем, что наш мир устроен совсем иначе. Или нет?
Ведь в нашем мире тоже живут люди, а именно они стоят во главе всех историй.
Кстати, вот одна история о людях, которые стоят во главе. Произошла она на трассе Херес во время последнего заезда Гран-при автогонок Формула-1 в сезоне 1997–1998 года… Опытный пилот Михаэль Шумахер на одно очко опережает своего главного конкурента в борьбе за чемпионский титул — Жака Вильнёва. Член команды Вильнёва, Хайнц-Харальд Френтцен, вполне мог сыграть ключевую роль. Пилоты соревнуются за «поул-позицию»[99] при старте, которая достанется тому, кто покажет лучшее время прохождения круга на квалификационном этапе. Что же произошло? Случилось нечто невиданное — все трое, Вильнёв, Шумахер и Френтцен, прошли круг за 1 минуту 21,072 секунды — в одно и то же время с точностью до тысячной доли секунды. Просто удивительное совпадение.
Что ж, это и правда «совпадение» — ведь оба круговых времени оказались одинаковыми. Но так ли это удивительно?
Подобные вопросы возникают и в науке, где они имеют большое значение. Насколько показательным является статистический кластер заболеваний лейкемией рядом с ядерной установкой? Может ли сильная корреляция между раком легких и наличием в семье курящих свидетельствовать об опасности пассивного курения? Являются ли половые отклонения у рыб признаком загрязнения воды химическими веществами, аналогичными эстрогенам?
Вот еще один пример. Утверждается, что среди детей израильских летчиков-истребителей 84 % девочек. Как можно объяснить подобную предрасположенность образом жизни летчика-истребителя? Может ли ответ на этот вопрос стать прорывом в области предопределения пола ребенка родителями? Или это просто статистическая ошибка? Принять решение не так-то просто. Внутреннее чутье здесь в лучшем случае бесполезно, поскольку люди обычно плохо предугадывают случайные события. Многие верят, что номера лотерейных билетов, которые давно не выпадали, имеют более высокие шансы выпасть в будущем. Однако лотерейная машина не обладает «памятью», то есть ее состояния в будущем не зависит от прошлого. Эти разноцветные пластмассовые шары не знают, как часто они выпадали в прошлых розыгрышах и не стремятся компенсировать предыдущие неудачи.
Когда дело касается совпадений, наша интуиция уводит нас еще дальше от истины. Когда вы приходите в бассейн, то парень за стойкой выдает вам ключ от шкафчика, выбрав его наугад. Вы идете в раздевалку и к своей радости видите, что большая часть шкафчиков свободны,… как вдруг выясняется, что трое других посетителей получили шкафчики рядом с вашим — и начинаются бесконечные извинения и хлопанья дверцами. Или, скажем, отправились вы первый раз в жизни на Гавайи,… и столкнулись там с венгром, вместе с которым работали в Гарварде. А отправившись со своей женой провести медовый месяц на природе в отдаленной части Ирландии, вы, прогуливаясь по безлюдному пляжу, видите, как навстречу вам идет ваш начальник со своей молодой женой. Все эти истории на самом деле произошли с Джеком.
Почему нас так поражают любые совпадения? Дело в том, что мы ожидаем равномерного распределения случайных событий, поэтому любые статистические скопления вызывают у нас удивление. Нам кажется, что розыгрыш лотереи «обычно» выглядит как «5, 14, 27, 36, 39, 45», а вот вариант «1, 2, 3, 19, 20, 21» гораздо менее вероятен. На самом же деле оба варианта имеют одну и ту же вероятность, которая в случае национальной лотереи Великобритании составляет 1 к 13 983 816. Как правило, в розыгрыш попадают несколько номеров, расположенных рядом, поскольку среди шестизначных последовательностей случайных чисел от 1 до 49 (именно так устроена британская лотерея) большую вероятность имеют последовательности с близкими номерами.
Откуда нам это известно? Для ответа на такие вопросы в теории вероятностей используется понятие «пространства элементарных событий», играющее ту же роль, что и «фазовое пространство», о котором мы говорили ранее — оно характеризует множество всех возможных исходов. Пространство элементарных событий содержит не только те исходы, которые представляют для нас интерес, но также и все возможные альтернативы. Например, для игральной кости это пространство состоит из событий 1, 2, 3, 4, 5 и 6. А пространство лотереи — из всех последовательностей шести чисел, заключенных между 1 и 49. Каждому событию в пространстве присваивается числовое значение, которое называется его «вероятностью» и характеризует шансы на то, что оно произойдет. Для правильной игральной кости вероятность выпадения любого числа одинакова и составляет 1/6. То же самое справедливо и для лотереи, только с вероятностью 1/13 983 816.
Можно воспользоваться пространством элементарных событий, чтобы получить примерную оценку того, насколько удивительным было совпадение на гонках Формула-1. Лидеры гонки приходят к финишу с практически одинаковыми скоростями, поэтому в первой тройке время может отличаться не более, чем на 1/10 секунды. Таким образом, если брать время с точностью до тысячных долей секунды, каждый из них может «выбрать» один из 100 вариантов финиша, которые и образуют пространство элементарных событий. Вероятность совпадения составляет 1 к 10 000. Достаточно маленькая вероятность, чтобы обратить на себя внимание, но все же не настолько маленькая, чтобы вызвать у нас удивление.
Подобные оценки помогают объяснить те удивительные совпадения, которые публикуются в газетах — например, о том, что игрок в бридж получил на руки «идеальную комбинацию» из 13 карт одной масти. Количество партий в бридж, разыгрываемых в мире каждую неделю, огромно — настолько, что всего нескольких недель достаточно на обследование значительной части пространства событий. Поэтому время от времени идеальные комбинации действительно выпадают, и их частота согласуется с их небольшой, но все же отличной от нуля, вероятностью. В то же время вероятность идеальной комбинации сразу у всех четырех игроков настолько мала, что она вряд ли бы выпала, даже если на каждой планете в нашей галактике миллиард жителей играли в бридж в течение миллиарда лет.
И все же периодически в газетах появляются сообщения о четверных идеальных комбинациях. Разумный вывод в такой ситуации состоит не в том, что случилось чудо, а в том, что каким-то образом изменилась вероятность события. Возможно, игроки получили почти идеальные комбинации, но потом кто-то приврал и сработал «испорченный телефон». Так что когда история дошла до журналиста с фотографом, в дело вступила другая разновидность повествовательного императива, благодаря которой история, рассказанная игроками, совпала с тем, что услышал журналист. Возможно, они соврали намеренно, чтобы их имена попали в газету. Ученые особенно часто недооценивают склонность людей ко лжи. Не один из них был одурачен «доказательствами» экстрасенсорного восприятия или других сверхъестественных явлений, которые на деле оказывались заранее обдуманной аферой.
Многие очевидные на первый взгляд совпадения при более тщательном изучении соскальзывают в ту переходную область, где честность ставится под сомнение, но доказать факт обмана не удается — потому, что удовлетворительные доказательства недоступны или просто потому, что игра не стоит свеч. Кроме того, мы можем быть одурачены важностью совпадения из-за того, что нам неизвестны скрытые ограничения, благодаря которым пространство событий сокращается. «Идеальную комбинацию», вероятно, можно объяснить тем, как перетасовываются карты для очередной раздачи — если вкратце, то плохо. Если карты в колоде расположены так, что сверху лежат четыре карты разной масти, а каждая четвертая карта имеет одну и ту же масть, то такую колоду можно делить (но, конечно же, не тасовать) сколько угодно раз, и в итоге все четыре игрока получат идеальную комбинацию. К концу игры карты на столе будут расположены вполне упорядоченно, а вовсе не случайным образом — неудивительно, что когда их собирают, они частично сохраняют исходное расположение.
Так что даже в таком «чистом» с точки зрения математики примере, как бридж, выбор правильного пространства событий очевиден далеко не всегда. Настоящее пространство состояло из «колод, которые игроки обычно собирают после окончания партии», а не из «всех возможных колод». Это и стало причиной изменения вероятности.
К сожалению, статистики обычно имеют дело с «очевидным» пространством событий. Например, в случае с израильскими летчиками-истребителями в качестве пространства событий они, разумеется, возьмут множество всех детей летчиков-истребителей Израиля. Однако, как показывает следующий пример, этот выбор вполне может оказаться неверным.
В скандинавском фольклоре есть история о споре между норвежским королем Олафом и королем Швеции — насчет владения одним из островов. Они решили бросить жребий — остров достанется тому, у кого сумма чисел, выпавших на паре костей, будет больше. У шведского короля выпали две шестерки. «Можешь сдаться, если хочешь», — заявил он с победоносным видом. Но Олафа это не испугало, и он сделал свой ход… На одной кости выпала шестерка,… а вторая распалась на две половинки с цифрами 6 и 1.
