И. Д. Рожанский.
Пуассо'на интегра'л, 1) интеграл вида
,
где r и j — полярные координаты, q — параметр, меняющийся на отрезке [0; 2p]; П. и. выражает значения функции u (r, j), гармонической внутри круга радиуса R, через её значения f (q), заданные на границе этого круга. Функция u (r, j) является решением задачи Дирихле для круга (см. Гармонические функции). П. и. был впервые рассмотрен С. Д. Пуассоном (1823). Строгая теория П. и. была создана Г. Шварцем (1869).
2) Интеграл
;
встречается в теории вероятностей и некоторых задачах математической физики. С. Д. Пуассон предложил весьма простой приём для вычисления этого интеграла. Впервые же этот интеграл был вычислен (1729) Л. Эйлером, поэтому называется также интегралом Эйлера — Пуассона.
Пуассо'на коэффицие'нт, одна из физических характеристик материала упругого тела, равная отношению абсолютных значений относительной поперечной деформации элемента тела к его относительной продольной деформации. Введён С. Д. Пуассоном. При растяжении прямоугольного параллелепипеда в направлении оси х (рис.) имеют место вдоль этой оси удлинение , а вдоль перпендикулярных осей у и z — сжатие , , т. е. сужение его поперечного сечения. П. к. равен n = ½ey½/eх или nzx = ½ez½/eх. Для изотропного тела величина П. к. не меняется ни при замене растяжения сжатием, ни при перемене осей деформации, т. е. nxy = nyx = nzx = n. В анизотропных телах П. к. зависит от направления осей (т. е. nxy ¹ nyx ¹ nzx). П. к. вместе с одним из модулей упругости определяет все упругие свойства изотропного тела. Величина П. к. для большинства металлических материалов близка к 0,3.
Рис. к ст. Пуассона коэффициент.
Пуассо'на распределе'ние, одно из важнейших распределений вероятностей случайных величин, принимающих целочисленные значения. Подчинённая П. р. случайная величина Х принимает лишь неотрицательные значения, причём Х = kc вероятностью
, k = 0, 1, 2,...
(l — положительный параметр). Своё название «П. р.» получило по имени С. Д. Пуассона (1837). Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей П. р. с параметром l, равны l. Если независимые случайные величины X1 и X2 имеют П. р. с параметрами l1 и l2, то их сумма X1 + X2 имеет П. р. с параметрами l1 + l2.
В теоретико-вероятностных моделях П. р. используется как аппроксимирующее и как точное распределение. Например, если при n независимых испытаниях события A1,..., An осуществляются с одной и той же малой вероятностью р, то вероятность одновременного осуществления каких-либо k событий (из общего числа n) приближённо выражается функцией pk (np) (математическое содержание этого утверждения при больших значениях n и 1/р формулируются Пуассона теоремой). В частности, такая модель хорошо описывает процесс радиоактивного распада и многие др. физические явления.
Как точное П. р. появляется в теории случайных процессов. Например, при расчёте нагрузки линий связи обычно предполагают, что количества вызовов, поступивших за непересекающиеся интервалы времени, суть независимые случайные величины, подчиняющиеся П. р. с параметрами, значения которых пропорциональны длинам соответствующих интервалов времени (см. Пуассоновский процесс).
В качестве оценки неизвестного параметра l по n наблюдённым значениям независимых случайных величин X1,..., Xn используется их арифметическое среднее X = (X1 +... + Xn)/n, поскольку эта оценка лишена систсматической ошибки и её квадратичное отклонение минимально (см. Статистические оценки).
Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., М. — Л., 1969; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967.
Рис. к ст. Пуассона распределение.
Пуассо'на теоре'ма, 1) теорема теории вероятностей, описывающая поведение частоты появления некоторого события в последовательности независимых испытаний — частный случай закона больших чисел (точную формулировку см. в ст. Больших чисел закон). 2) Одна из предельных теорем теории вероятностей. П. т. позволяет приближённо оценивать вероятность данного числа появлений маловероятного события при большом числе независимых испытаний (см. Пуассона распределение).
Обе теоремы установлены С. Д. Пуассоном в 1837.
Пуассо'на уравне'ние, уравнение с частными производными вида Du = f, где D —оператор Лапласа:
При n = 3 этому уравнению удовлетворяет потенциал u (х, у, z) объёмных масс, распределённых с плотностью f (x, у, z)/4p (в областях, где f = 0 потенциал u удовлетворяет уравнению Лапласа), а также потенциал объёмно распределённых электрических зарядов. При этом плотность распределения f должна удовлетворять известным требованиям гладкости (например, условию непрерывности частных производных). Если функция f отлична от нуля лишь в конечной области G, ограничена и имеет непрерывные частные производные первого порядка, то при n = 2 частное решение П. у. имеет вид:
а при n = 3:
где r (А, Р) — расстояние между переменной точкой интегрирования А и некоторой точкой Р. В более подробной записи
V (х, у, z) =
Решение краевых задач для П. у. сводится подстановкой к решению краевых задач для уравнения Лапласа Dw = 0.
П. у. впервые (1812) было изучено С. Д. Пуассоном.
Пуассона формула суммирования
Пуассо'на фо'рмула сумми'рования, формула для вычисления суммы ряда вида
Если
— Фурье преобразование (несколько иначе, чем обычно, нормированное) функции F (x), то
(m и n — целые). Это и есть П. ф. с.; она может быть записана в более общем виде: если l > 0, m > 0, lm = 1 и 0 £ t < 1, то
Для справедливости этой формулы достаточно, чтобы в каждом конечном интервале F (x) имела ограниченную вариацию, и для х ® + ¥ и х ® — ¥ выполнялось одно из условий: 1) F (x) — монотонна и абсолютно интегрируема; 2) F (x) — интегрируема и обладает абсолютно интегрируемой производной. П. ф. с. позволяет в ряде случаев заменить вычисление суммы ряда вычислением суммы др. ряда, сходящегося быстрее первоначального.
Пуассо'новский пото'к, то же, что пуассоновский процесс. Этот термин используют, как правило, в массового обслуживания теории.
Пуассо'новский проце'сс, случайный процесс, описывающий моменты наступления 0 < t1 <...< tn <...<... каких-либо случайных событий, в котором число событий, происходящих в течение любого фиксированного интервала времени, имеет Пуассона распределение и независимы числа событий, происходящих в непересекающиеся промежутки времени.
Пусть m(s, t) — число событий, моменты наступления которых ti удовлетворяют неравенствам 0 £ s < ti £ t, и пусть l(s, t) — математическое ожидание m(s, t). Тогда и П. п. при любых 0 £ s1 < t1 £ s2 < t2 £... £ sr < tr случайные величины m(s1, t1), m(s2, t2),... m(sr, tr) независимы и вероятность того, что m(s, t) = n, равна
