О геометрическом построении, известном как лестница Шильда, я узнал из фундаментального справочника «Gravitation» by С. W. Misner, К. S. Thorne and J. A. Wheeler, W. H. Freemann, New York, 1970 [Имеется русский перевод: Мизиер Ч., Торн К., Уилер Дж.: Гравитация. — М.: Мир, 1977. — Т. 1–3]. Авторы ссылаются на неопубликованную лекцию Альфреда Шильда, прочитанную им 19 января 1970 г. в Принстонском университете.
Дополнительные материалы можно почерпнуть на моем сайте: http: //gregegan.customer.netspace.net.au/SCHILD/SCHILD.html
Комментарии переводчика к послесловию
Из более свежих работ по теории спиновых сетей и гомотопической квантовой теории поля, опубликованных после выхода в свет «Лестницы Шильда», следует упомянуть:
{3}. М. A. Levin, X.-G. Wen (2005). «String-net condensation: A physical mechanism for topological phases». Physical Review B: Condensed Matter and Materials Physics 71 (045110): 21. <arXiv: cond-mat/0404617>
{4}. T. Konopka, F. Markopoulou, L. Smolin (2006). «Quantum Graphity». <arXiv: hep-th/0611197>
{5}. A. Corichi, T. Vukasinac, J.-A. Zapata (2007). «Hamiltonian and physical Hilbert space in polymer quantum mechanics». J. Class. Quant. Grav. 24 (6) (2007), 1495. <arXiv: gr-qc/0610072v2>
{6}. V. Turaev (2007). «Dijkgraaf-Witten invariants of surfaces and projective representations of groups». J. Geotn. Phys. 57(11) (2007), 2419.
{7}. L. H. Kauffman. S. J. Lomonaco Jr. (2007). «q-Deformed spin networks, knot polynomials and anyonic topological quantum computation». <arXiv: quant-ph/0606114v3>
{8}. F. Verstraete, J.I. Cirac, V. Murg (2008). «Matrix product states, projected entangled pair states, and variational renormalization group methods for quantum spin systems». Adv. Phys. 57 (2008), 143. <arXiv: abs/0907.2796>
{9}. J. I. Cirac, F. Verstraete (2009). «Renormalization and tensor product states in spin chains and lattices». J. Phys. A 42 (2009), 504004.
{10}. V. Turaev (2010). «Quantum invariants of knots and 3-manifolds». 2nd revised edition, de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 18, Walter de Gruyter and Co., Berlin, 2010.
{11}. М. Baake, M. Birkner, R. V. Moody (2010). «Diffraction of stochastic point sets: Explicitly computable examples». Commun. Math. Phys. 293,611.
{12}. L. Freidel, J. Hnybida (2012). «On the exact evaluation of spin networks». <arXiv: 1201.3613v 1 >
{13} E. Jonckheere, F. Langbein, S. Schirmer (2012). «Curvature of spin networks». <arXiv: 1202.2556vl>
Внешний вид Барьера
Барьер нововакуума представляет собой поверхность сферы, расширяющейся на скорости 0,5с. Его внешний вид в небе той или иной планеты определяется тем фактом, что, глядя вдаль от ближайшей точки Барьера, наблюдатель заглядывает в прошлое и видит Барьер в момент времени, когда его размеры были меньше.
На рис. I черные круги указывают фактические размеры Барьера в пять различных моментов времени, а синие кривые — кажущиеся размеры и форму в восприятии неподвижного наблюдателя (также отмечен на рисунке), ожидающего прибытия света от Барьера. Математическое выражение для формы этих кривых легко получить, заметив, что время t, прошедшее с момента зарождения нововакуума, равно 2t1+ t2, где t1 — расстояние от центра Барьера до точки на кривой, a t2 — расстояние от этой точки до наблюдателя.
Серые пунктирные линии очерчивают кажущийся край Барьера и представляют собой касательные к синим кривым. Они показывают путь света, задевшего Барьер, когда его размеры значительно уступали нынешним. Поэтому Барьер затеняет меньший участок небосклона, чем в том случае, если бы его размеры все время оставались такими. И даже в последний показанный на рисунке момент времени, когда Барьер нависает непосредственно над нашим наблюдателем, сектор небесной сферы, отсеченный им, составит лишь 120 градусов.
На рис. II показано, как растет угловой видимый размер Барьера с течением времени. Переменный допплеровский сдвиг светового излучения Барьера изображен схематически по контуру поверхности. Точное значение фактора синего смещения варьирует от V‾З = 1,732 в центре до 2/V‾З = 1,1547 по краю. Допплеровский сдвиг на краю поля зрения остается неизменным по мере расширения Барьера, поскольку наблюдаемый там свеn всегда излучается под углом 90 градусов к направлению распространения (в системе отсчета, движущейся вместе с соответствующим сегментом Барьера).
Спиновые сети: только бы соединить…
Понемногу складывается впечатление, что известный афоризм Э. М. Форстера[125] — излишество. Теория, для которой строительными блоками Вселенной выступают математические структуры — графы, — которые соединяются друг с другом, а больше-то ничего и не делают.
Граф можно представить в виде множества точек — узлов, и набора линий, соединяющих эти узлы — ребер. Детали построения, например, длина и форма ребер, вообще говоря, безразличны для структуры графа. Единственная черта, по которой можно отличить один граф от другого — тип связывания узлов. Число ребер, сходящихся в один и тот же узел, называется его валентностью.
В квантовой теории графов, или КТГ, квантовое состояние, описывающее как геометрию пространства, так и поля материи, присутствующей в нем, построено из комбинаций графов. Теория обрела нынешнюю форму в работах яванского математика Куснанто Сарумпета, который в серии из шести статей, опубликованных с 2035 по 2038 гг., показал, что как общая теория относительности (ОТО), так и Стандартная Модель физики элементарных частиц (СМ) представляют собой аппроксимации единой теории — КТГ.
У графов Сарумпета долгая и славная родословная, которую можно проследить вплоть до работ Майкла Фарадея о «силовых линиях», соединяющих электрические заряды, и теории Уильяма Томсона об атомах как заузленных «вихревых трубках». Ближайшими предшественниками теории Сарумпета явились модель спиновых сетей Роджера Пенроуза, в которой рассмотрены трехвалетные графы с приписанным каждому узлу полуцелым числом, соответствующим возможному значению спина квантовой частицы. Пенроуз изобрел спиновые сети в начале 1970-х и продемонстрировал, как полный набор пространственных направлений может быть получен из простых комбинаторных принципов, применяемых к процессам обмена спином между двумя областями обширной сети.
Обобщение спиновых сетей позднее нашло место в различных вариантах квантовой теории поля (КТП). Волновая функция приписывает каждому возможному расположению частицы амплитуду вероятности, а спиновая сеть, погруженная в пространственную область, аналогичным образом приписывает амплитуду всем возможным полевым конфигурациям. Квантовые состояния, определенные в этом формализме, состоят из линий потока, текущего вдоль ребер сети.
