Если квантовомеханическая частица переносится по определенному пути в пространстве, начиная его со спином j,компонента которого вдоль оси Z равна т, параллельный перенос, вообще говоря, изменит значение спинового состояния частицы. Это явление в квантовой механике соответствует повороту классического вектора. Например, если электрон начинает перемещение со спином ↑, он может перейти в состояние суперпозиции компонент со спинами ↑ и ↓ или же изменить фазу; это зависит от того, какое именно вращение он претерпевает, то есть от кривизны области пространства, которую электрон пересекает. Итак, простым способом определения геометрии пространства видится следующий: взять электрон, перенести его по петле и посмотреть, как изменилось спиновое состояние частицы.
Спиновые сети представляют собой обобщение этой идеи, но сравнение производится более сложным образом. Каждому ребру спиновой сети приписывают значение спина j. Можно представить себе параллельный перенос частиц вдоль каждого ребра, так что их суммарный спин соответствует j. В каждом узле вычисляется амплитуда, которой выражено различие спиновых состояний на входе и выходе. Произведение амплитуд всех узлов дает общий спин сети, зависящий от геометрии пространства, куда погружены ребра сети.
Общие значения спина на ребрах недостаточно полно описывают спиновое состояние частиц: сохраняется произвол при выборе значений m, компоненты спина вдоль оси Z. Трудность в том, что, если задаться определенным значением этой компоненты (скажем, принять m = j для всех ребер), то для каждого типа геометрии амплитуды будут зависеть от ориентации оси Z. Тем не менее существует простой способ превозмочь эту проблему: если просуммировать амплитуду сети по всем возможным комбинациям значений m, где т пробегает диапазон значений — j…+ j на каждом ребре, получим величину, полностью независимую от выбора ориентации.
С использованием этой суммы спиновая сеть позволяет определить состояние квантовой геометрии, характеризующееся ценным свойством, а именно калибровочной инвариантностью: амплитуда не зависит от способа измерения, но только от геометрии пространства внутри сети.
На моем сайте доступен:
http: //gregegan.customer.netspace.net.au/SCHILD/Spin/Spin.html ,
где для разных геометрий построены различные состояния спиновых сетей.
Математические тонкости: голономия
Эффект параллельного переноса вектора по определенному маршруту можно представить в виде карты линий, соединяющих касательные пространства в начальной и конечной точках маршрута. Говорят, что для этого пути наблюдается голономия, выраженная вращением R. Семейство геометрий, для которых вышеуказанный апплет вычисляет эволюцию спиновой сети, характеризуется простым правилом: параллельный перенос по прямой из точки (х0, у0, z0) в точку (x1,y1,z1) поворачивает вектор вокруг оси а на угол, равный магнитуде a, причем
a = k(y0z1 — z0y1, z0x1 - x0z1, x0y1 - y0x1)
и k — параметр кривизны. Это значит, что параллельный перенос по квадратной петле с ребром € в одной из координатных плоскостей поворачивает векторы вокруг остальных координатных осей на угол
Θloop = 2€2k.
Эффект голономии для частицы с общим спином j определяется унитарной матрицей Uj. Ее можно получить, использовав соответствующее представление SU(2)- гомоморфизм из группы SU(2) в группу унитарных линейных операторов на гильбертовом пространстве, содержащем спиновое состояние частицы.[127]
Апплет вычисляет эти матрицы по комбинаторной формуле, основанной на погружении j-спинового представления в 2j-мерное тензорное произведение более фундаментального представления (со спином 1/2).Каждому ребру приписывается амплитуда, зависящая от значения т в начале и конце ребра:
acdge(ms, mc) = [jmc|Uj(R)|jms]
Для любого вращения RUj (R) действует на дуальные векторы так, что
Uj*(R)|jm| = |jm|Uj (R)-1
Спиновые состояния в узле со входящими в него ребрами обозначаются j1,j2, а спиновое состояние на исходящем ребре обозначается как j3. Их можно сравнить посредством линейной карты С между тензорным произведением гильбертовых пространств входящих частиц и исходящей частицы. Узловая амплитуда равна:
anode(m1, m2, m3) = [j3m3|C(|j1 m1] × |j2 m2])
Карта С нужна, чтобы эффекты произвольного вращения R коммутировали между собой:
C(Uj1(R)|j1 m1]×Uj2(R)j2 m2]) = Uj3(R)C(j1 m1]×|j2 m2])
При этом амплитуда останется неизменной, если каждое спиновое состояние узла подвергнуть одинаковому вращению:
anode(m1, m2, m3) = (Uj3(R)[j3m3|)C(Uj1(R)|j1 m1]×Uj2(R)j2 m2]) =
= [j3m3|Uj3-1(R)Uj3(R)C(j1 m1]×|j2 m2]) = j3m3|C(|j1 m1 × |j2 m2])
