Интересно, что курс математики, и только он, велся в э-дубе на аккадском языке, несмотря на то что вавилонская математика имела, безусловно, шумерское происхождение и что хозяйственные документы в период царства Ларсы все еще составлялись по-шумерски.
Задачи не формулировались абстрактно, они всегда оперировали с конкретными предметами, площадями, объемами и т. п. Но по их решению это задачи на квадратные уравнения, на теорему Пифагора (до Пифагора!).
Наиболее сложные арифметические операции требовались при задачах на обыкновенное деление, точнее, на умножение на обратную величину (самого термина «деление» вавилонские математики не знали). Эта операция была возможна только для «правильных» чисел, имеющих обратную величину, для которых, собственно, и составлялись все таблицы (даже таблицы умножения). Делить, скажем, на 7 вавилоняне умели только приближенно. Операция деления на «правильное» число выглядела так: «Обратную от а возьми, а ты видишь, умножь b на ā, n ты видишь». На «неправильные» делили так: «а не имеет обратной величины. Что надо взять с а, чтобы получить b? Надо взять n».[286] Ученику дается как бы подсказка, взятая из жизненного опыта. Разумеется, вавилоняне не пользовались алгебраическими обозначениями, и наши «а, ā, b, n» передают конкретные числа оригинала. Но учителя обычно избегали задач, требовавших операций с обратными величинами.
Мы сказали, что вавилоняне не имели термина «деление». Какие же арифметические термины у них были? Шум. gar-gar, аккад. kamāru[m] означало «складывать» (собственно, по-аккадски «скапливать»), шум. dah, аккад. wasābu — «прибавлять». «Арифметические понятия, которые выражаются этими терминами, не вполне совпадают, — пишет А. А. Вайман.[287] — Длина и ширина треугольника только „складываются“… По-видимому, термин „складывать“ употребляется для двух величин, которые выступают в процессе сложения как равноправные, а термин „прибавлять“ — для двух величин, одна из которых играла роль основной, а другая — подчиненной, предназначенной дополнить и увеличить основную». Однако сумма называлась по-шумерски только «сложение» (gar-gar), по-аккадски — только «сложенным» или «скопленным» (kummuru[m], kimirtu[m], nakmartu[m]).
Для двух величин, при сложении которых был бы употреблен термин «складывать», при вычитании применялся термин «превышать» (шум. dirig, аккад. watāru[m]) или «недоставать» (шум. lá, lal, аккад. matû); если был бы употреблен для сложения термин «прибавлять», то для вычитания говорилось по-шумерски ba-zi, по-аккадски nasāhu[m] (первое скорее всего значило, собственно, «потеряно», второе значит «вырывать»). Результатом вычитания могли быть «превышение», «недостача» или «остаток» (šapiltu[m], собственно «низ, осадок»). Ср., например, «а над b насколько превышает?»; «b к а сколько недостает?»; «от а отними b, (а — b) ты оставил» (шум. ìb-tag4, аккад. ēzib).
Еще более замысловаты термины для умножения (в числе прочего «кушать» (шум. kú, аккад. akālu[m]). Например, «15, длину, 12, ширину, я скушал, 15 раз 12, 3'0 площадь» (ср. примеч. 280).
Вот некоторые примеры задаваемых ученикам задач (взяты из книги А. А. Ваймана): «Если на 1 бур[288] площади 4 гур зерна я снял, на 1 бур площади 3 гур зерна я снял. Теперь 2 поля. Поле над полем на 10'0 выдается. Оба зерна сложены, 18'20. Каковы мои поля?» Далее приводится (без объяснений) ход решения и само решение (20'0 и 10'0).
Заметим, что поскольку ход решения дается без какого-либо логического обоснования и, видимо, должен был просто зазубриваться, то учителя иногда допускали подгонку. Если решение получалось правильное, то она рассматривалась не как жульничество, а как надлогическая мудрость.
«10 братьев. 12/3 мины серебра. (Каждый) брат возвысился над братом, насколько он возвысился, я не знаю. Доля восьмого 6 сиклей (=0'6). Брат над братом: на сколько он возвысился?» Иначе говоря, имеется прогрессия из десяти членов, в сумме дающая 100 (сиклей серебра =12/3 мины), и задано число для члена прогрессии а8, что составляет минимальную сумму для а10 плюс прирост за два интервала. Древний вавилонянин пользовался здесь (как и во многих других случаях) методом отыскания среднего арифметического.
В области геометрии мы встречаем задачи, связанные с прямоугольником (который назывался uš saĝ — «длинная сторона и боковая сторона»), треугольником (шум. sag-dá(-k), аккад. santakku[m], «клин»), трапецией (шум. sag-ki-gu(d), аккад. pūt alpi[m] — «лоб быка») и «обручем» (шум. gúr, аккад. kippatu[m]), что, по обстоятельствам дела, могло означать «дуга», «окружность» и «круг». Были известны и еще некоторые другие планиметрические фигуры.
Вот примеры задач: «Клин. Ширина его 30. В нем две полосы. Верхняя площадь над нижней площадью на 7'0 выдается. Нижняя, спускающаяся на 20, выдается. Чему равна спускающаяся? И чему равна сумма длин?»
Далее идет ход решения: «Ты: 30, ширину, клади» и т. д.
Все это для нас звучит довольно невнятно. Вот как переводит условия этой задачи А. А. Вайман:[289]
«Рассматривается прямоугольный треугольник, разделенный линией х, параллельной одному из катетов а =30, на две части, разность площадей которых S1 — S2 = Δ = 7'0; разность отрезков отсекаемых линией раздела на соответствующем катете, у2— у1 = δ = 20. Требуется найти у1, у2, s1, s2».
Вот еще алгебраическая задача: «Длину и ширину (букв.: длинную и боковую сторону) я перемножил, и 10'0 — это поле. Длину на саму себя я умножил, и поле я сделал. То, на что длина над шириной выдается, я перемножил (на себя) и в 9 (раз) увеличил, и это как то поле, которое само на себя умножено. Что есть длина и ширина?» Следует ход решения и решение.
Перевод: ху = 5 (S = 10'0)
(х — у)2α = х2 (α = 9)
Современный математик переводит косноязычие древней задачи на язык алгебраических формул, которых вавилонский математик не знал. Поэтому блестящая во многом книга О. Нейгебауера по древним точным наукам (ср. примеч. 246) не дает реального представления о «кухне» вавилонских ученых; вот почему, рекомендуя читателю Нейгебауера, мы все же предпочитаем опираться на книгу А. А. Ваймана, которая ближе рисует облик математика э-дубы.
Мы не будем приводить более примеров на старовавилонские задачи, ни интересных данных о теории чисел в Вавилонии. Отметим только еще два момента, для чего опять процитируем книгу Ваймана: в стереометрии, указывает он (с. 137), «единственной фигурой, воспринимавшейся в достаточной мере отвлеченно, был параллелепипед, все прочие — конкретные предметы, и прежде всего объекты строительства». Емкость обозначалась термином «вода» (шум. a, aia, аккад. mê), объем — термином «земля, песок» (шум. sahar, аккад. epēru[m]), площадь — «поле» (a-ša(g)).
И далее (с. 208): «Тип математики, созданной шумерами, в основном соответствует уровню хозяйственного развития шумерского общества и любого другого, достигшего того же уровня. Этого нельзя сказать о математике, созданной вавилонянами… Чем же было обусловлено возникновение теоретического направления в вавилонской математике? <…> Значительную роль должна была сыграть школа, роль которой в старовавилонское время, очевидно, особенно возросла <…> Так, для планомерного школьного обучения математике необходимы были учителя, углубленно занимающиеся этим предметом, а одна из обязанностей учителя[290] заключалась в составлении специальных математических задач. Содержание задач подсказывалось не только практикой ведения хозяйства, но и некоторыми потребностями самого школьного обучения. Последнее обстоятельство стимулировало отрыв математики от практики. В частности, в результате этого и возник тот раздел математики, который может быть отнесен к элементарной теории чисел (…) По-видимому, возникновение теоретического направления в математике вавилонян было обусловлено еще и некоторыми специфическими особенностями математической системы, из которой вавилоняне исходили. Сюда можно отнести чрезвычайно удачный вычислительный аппарат <…> на основе шестидесятеричной системы исчисления.
Вычислительная техника у древних египтян была намного менее совершенной, чем у вавилонян».
Итак, мы рассмотрели педагогику, филологию, право и математику, как они применялись и проходились в э-дубе эпохи царства Ларсы. Следовало бы отметить еще музыковедение (но здесь мы вынуждены отнести читателя целиком к специальным работам),[291] а также религиозное и литературное образование, которые получали ученики э-дубы. Но религии царства Ларсы (о которой мы больше всего знаем опять-таки по данным школьных библиотек) будут посвящены другие выпуски серии.
