Обычно формальная деривация бывает крайне длинна по сравнению с соответствующей «естественной» мыслью. Это, конечно, плохо — но это та цена, которую приходится платить за упрощение каждого шага. Часто бывает, что деривация и доказательство «просты» в дополнении друг к другу. Доказательство просто в том смысле, что каждый шаг «кажется правильным», даже если мы и не знаем точно, почему; деривация проста, потому что каждый из мириада ее шагов так прост, что к нему невозможно придраться и, поскольку вся деривация состоит из таких шагов, мы предполагаем, что она безошибочна. Каждый тип простоты, однако, привносит свой тип сложности. В случае доказательств, это сложность системы, на которую они опираются — а именно, человеческого языка; в случае дериваций, это их астрономическая длина, делающая их почти невозможными для понимания.
Таким образом, мы считаем исчисление высказываний частью общего метода для составления искусственных структур, подобных доказательствам. Однако оно лишено гибкости или всеобщности, поскольку предназначено только для работы с математическими понятиями, которые, в свою очередь, жестко определенны. В качестве довольно интересного примера давайте рассмотрим деривацию, в которой посылкой фантазии является необычная строчка: <Р Λ ~ Р>. По крайней мере, ее частичная интерпретация звучит странно. Исчисление высказываний, однако, не задумывается над интерпретациями — вместо этого, оно просто манипулирует типографскими символами, а в типографском смысле в этой строчке нет ничего необычного.
Вот фантазия с данной строчкой в качестве посылки.
(1) [ проталкивание
(2) <Р Λ ~Р> посылка
(3) Р разделение
(4) ~Р разделение
(5) [ проталкивание
(6) ~Q посылка
(7) Р переход, строка 3
(8) ~~Р двойная тильда
(9) ] выталкивание
(10) <~Q э ~~Р> фантазия
(11) <~P э Q> контрапозиция
(12) Q отделение (строчки 4, 11)
(13) ] выталкивание
(14) <<P Λ ~P> э Q> фантазия
Эта теорема имеет очень странную частичную интерпретацию:
Из P и не P вместе взятых следует Q.
Поскольку Q можно интерпретировать любым предложением, мы можем считать, что эта теорема утверждает, что «из противоречия следует что угодно»! Поэтому системы, основанные на исчислении высказываний, не могут содержать противоречий — противоречия мгновенно заражают всю систему, подобно глобальному раку.
Подход к разрешению противоречий
Это не похоже на человеческую мысль. Если вы обнаружите в своих рассуждениях противоречие; вряд ли это разрушит все здание вашего мышления. Вместо этого вы, скорее всего, попытаетесь найти те идеи или методы рассуждения, которые явились причиной противоречия. Иными словами, вы попытаетесь, насколько это возможно, выйти из ваших внутренних систем, приведших к противоречию, и попробуете их исправить. Маловероятно, что вы поднимете руки вверх и воскликнете: «Это показывает, что теперь я верю во все, что угодно!» — разве что в шутку.
В действительности, противоречия — это важный источник прогресса во всех областях жизни, и математика не является исключением. В прошлом, когда в математике обнаруживалось противоречие, математики тут же пытались найти виновную в этом систему, выйти из таковой, проанализировать ее и, если возможно, залатать прореху. Вместо того, чтобы делать математику слабее, нахождение и «починка» противоречивых систем только усиливали ее. Этот путь был долог и усеян ошибками, но в конце концов, он приносил плоды. Например, в средневековье предметом горячих споров была бесконечная последовательность
1-1 + 1-1 + 1-…
Существовали «доказательства», что эта серия равняется 0, 1, 1/2 — а может быть, и другим числам. Из подобных противоречивых результатов выросла более полная и глубокая теория бесконечных рядов. Более актуальный пример — противоречие, с которым мы сталкиваемся в данный момент; это противоречие между тем, как мы действительно думаем, и тем, как исчисление высказываний имитирует наше мышление. Это продолжает быть источником дискомфорта для многих логиков; множество творческих усилий было приложено к тому, чтобы улучшить исчисление высказываний, чтобы оно не было таким жестким. Одна из попыток, изложенная в книге А. Р. Андерсона и Н. Белнапа «Следствие» (A.R. Anderson & N.Belnap, «Entailment»),[15] включает «уместный подтекст», с тем, чтобы придать символу «если — то» действительную причинность или, по крайней мере, некоторую связь со смыслом. Взгляните на следующие теоремы исчисления высказываний:
<P э <Q э P>>
<P э<Q V ~Q>>
<<Р Λ ~Р> э Q>
<<P э Q>V<Q э P>>
Эти и другие подобные теоремы показывают, что первая и вторая части суждений типа «если… то» вовсе не должны иметь никакой связи для того, чтобы быть доказанными в исчислении высказываний. С другой стороны, «уместный подтекст» ставит некоторые ограничения на контекст, в котором может действовать правило вывода. Опираясь на интуицию, он говорит нам, что «что-то может быть выведено из чего-то только в том случае, если эти части как-то соотносятся между собой». Например, строка 10 в деривации выше была бы невозможна в данной системе — и это, в свою очередь, заблокировало бы вывод строчки <<P Λ ~P>эQ>.
Более радикальные попытки полностью отказываются от поисков непротиворечивости и полноты, пытаясь взамен симулировать человеческое мышление со всеми его противоречиями. Подобные исследования уже не ставят своей целью дать математике прочный фундамент; они занимаются изучением процесса человеческой мысли.
Несмотря на некоторые странности, исчисление высказываний обладает многими положительными чертами. Если рассматривать его как часть большей системы (что мы и сделаем в следующей главе), и знать наверняка, что сама эта система свободна от противоречий (мы будем в этом уверены), то исчисление высказываний выполняет все, чего мы можем от него ожидать: оно производит все возможные правильные умозаключения. Даже если противоречие все-таки будет обнаружено, мы можем быть уверены, что виновница этого — сама большая система, а не ее подсистема — исчисление высказываний.
Рис. 42. М. К. Эшер «Крабий канон» (1965)
В один прекрасный день, Ахилл и Черепаха, прогуливаясь по парку, наталкиваются друг на друга.
Черепаха: Приветствую, г-н А.!
Ахилл: И я вас тоже.
Черепаха: Всегда рада вас видеть.
Ахилл: Вы читаете мои мысли.
Черепаха: В такой денек приятно пройтись; пожалуй, я пойду домой пешочком.
Ахилл: Неужели? Гулять, знаете ли, весьма полезно для здоровья.
Черепаха: Кстати, в последнее время вы выглядите как огурчик.
Ахилл: О, благодарю вас.
Черепаха: Не стоит. Не желаете ли угоститься моими сигарами?
Ахилл: Да вы, как я погляжу, филистер. По моему мнению, голландский вклад в эту область — значительно худшего вкуса, и я хочу попытаться вас в этом убедить.
Черепаха: Наши мнения по этому вопросу расходятся. Кстати, говоря о вкусах: несколько дней назад я была на выставке, где, наконец, увидела «Крабий канон» вашего любимого художника, М. К. Эшера. Какая красота! Как ловко он переворачивает тему задом наперед! Но боюсь, что для меня Бах всегда останется выше Эшера.
Ахилл: Не знаю, не знаю… Я уверен только в том, что меня не волнуют споры о вкусах. De gustibus non est disputandum.
Черепаха: Поговорим лучше о другом. Знаете ли вы, что я уже давно пытаюсь собрать полную коллекцию редких записей Баха — хоть это и отнимает много времени, но я считаю, что лучшего хобби не найти.
Ахилл: Ну и волокита! Не знаю, как кому-то могут нравиться такие вещи…
(Вдруг, откуда ни возьмись, появляется Краб. Он стремительно подбегает к друзьям, указывая на огромный синяк под глазом.)
Краб: Приветик! Бонжурчик! Я сегодня как огурчик, только вот синяк — кошмар, не правда ли? Мне его наставил этот поляк, ужасный, скажу вам, пошляк. Хо! Да еще в такой чудесный денек! Я себе по парку гулял, никого не задирал; вдруг слышу — музыка небесная, полька расчудесная. Гляжу, а на скамье сидит девица, да такая, что нам с вами не пара; а в руках у нее — гитара. Я и сам, знаете ли, из музыкальной семьи: мой кузен рак — мужик не дурак! — всегда зимовал ничуть не ближе, чем в Париже. Он был придворным музыкантом короля — услаждал его величество художественным свистом, когда тот сидел с придворными за вистом. Любовь к музыке у нас, ракообразных, в крови… Понимаете теперь, почему я не удержался, на скамейку взобрался, и говорю на ушко девице: «Щипать струны вы, гляжу, мастерица! Позвольте мне, как музыканту, сделать вам комплимент — а также предложить свой аккомпанемент. Чтоб польке дать полнее звук, сыграем-ка в двенадцать рук!» Она как вскочит, да как завопит, что есть мочи! Тут откуда ни возьмись, явился этот здоровяк, этот поляк… Бах! Трах! Прямо в глаз попал — вот откуда этот фингал! Не думайте, что я трус — атаковать я не боюсь. Но по давней семейной традиции, крабы — мастера защитной диспозиции… Ведь мы, когда идем вперед, движемся назад. Это у нас в генах — переворачивать все задом наперед. Кстати, это мне напоминает… Я всегда спрашивал себя: «Что было раньше, Краб или Ген?» То есть, я хочу сказать: «Что было позже, Ген или Краб»? Я всегда переворачиваю все задом наперед, знаете ли — это у нас в генах. Ведь мы, когда идем вперед, движемся назад… Ох, и заболтался же я, друзья! Да еще в такой чудный денек, хо! Поползу себе, пожалуй. Приветик!
