Аналогичная идея также сохраняется, когда циклические измерения заменяются более сложными формами (пространствами, многообразиями) Калаби-Яу, введенными в Главе 12. Заданная теория струн с дополнительными измерениями, скрученными в особое пространство Калаби-Яу, может быть переведена с помощью словаря в другую теорию струн с дополнительными измерениями, скрученными в другое пространство Калаби-Яу (то, которое называется зеркальным или дуальным к оригиналу). В этих случаях отличаются не только размеры пространств Калаби-Яу, но так же и их формы, включая число и разнообразие их дырок. Но переводный словарь обеспечивает, что они отличаются в точно правильном смысле, так что даже если дополнительные измерения имеют отличающиеся размеры и формы, физика, следующая из каждой теории, абсолютно идентична. (Имеются два типа дырок в данном пространстве Калаби-Яу, но оказывается, что способы (моды) колебаний струны – а потому физические следствия – чувствительны только к разнице между числом дырок каждого типа. Так что если пространство Калаби-Яу имеет, скажем, две дырки первого вида и пять дырок второго, тогда как другое пространство Калаби-Яу имеет пять дырок первого вида и две дырки второго, тогда даже если они отличаются как геометрические формы, они могут давать начало идентичной физике*).
(*) "Для подробностей о геометрической дуальности, включающей как окружности, так и пространства Калаби-Яу, смотрите Элегантную Вселенную, Главу 10."
Тогда, с другой точки зрения, это поддерживает подозрение, что пространство не является основополагающей концепцией. Некто, описывая вселенную с использованием одной из пяти струнных теорий, будет утверждать, что пространство, включая дополнительные размерности, имеет особые размер и форму, в то время как некто другой, используя одну из других струнных теорий, будет утверждать, что пространство, включая дополнительные измерения, имеет отличающиеся размер и форму. Поскольку два наблюдателя будут просто использовать альтернативные математические описания одной и той же физической вселенной, это не тот случай, когда один будет прав, а другой неправ. Они оба будут правы, даже если их заключения относительно пространства – его размера и формы – будут отличаться. Отметим также, что это не то же, что они будут рассекать пространство-время различным, одинаково пригодным способом, как в СТО. Эти два наблюдателя не смогут прийти к согласию по поводу общей структуры самого пространства-времени. И в этом главный момент. Если пространство-время на самом деле фундаментально, большинство физиков ожидает, что кто угодно безотносительно от точки зрения – безотносительно к используемому языку или теории – согласится с его геометрическими свойствами. Но факт, что, по меньшей мере, в рамках теории струн это не обязательно имеет место, указывает, что пространство-время может быть вторичным феноменом.
Таким образом, мы подошли к вопросу: если путеводные нити, описанные в последних двух секциях, ориентируют нас в правильном направлении, и привычное пространство-время является только крупномасштабным проявлением некоторой фундаментальной сущности, то что это за сущность и каковы ее существенные свойства? На сегодняшний день никто не знает. Но в поисках ответа исследователи нашли некоторые дальнейшие путеводные нити, и наиболее важная среди них приходит из размышлений о черных дырах.
Откуда энтропия у черных дыр?
Черные дыры имеют самое непроницаемое бесстрастное лицо во вселенной. Снаружи они выглядят поистине настолько просто, насколько вы можете осознать. Тремя отличительными свойствами черной дыры являются ее масса (которая определяет, насколько она велика, – расстояние от ее центра до ее горизонта событий, окружающей ее поверхности невозвращения), ее электрический заряд и насколько быстро она вращается. Это все. Больше нет деталей, которые могут быть собраны из тщательного исследования внешнего вида, который черная дыра представляет космосу. Физики характеризуют это через высказывание: "Черная дыра не имеет волос", имея в виду, что отсутствуют все виды детализированных свойств, которые позволили бы выделить индивидуальность. Если вы видели одну черную дыру с данной массой, зарядом и скоростью вращения (даже если вы изучаете их косвенно, через их влияние на окружающий газ и звезды, поскольку черные дыры черны), вы точно видели их все.
Тем не менее, за их холодным спокойствием черные дыры скрывают величайшие резервуары хаоса, которые когда-либо знала вселенная. Среди всех физических систем заданного размера с любым возможным составом черные дыры содержат максимально возможную энтропию. Вспомним из Главы 6, что один грубый путь раздумий об этом следует непосредственно из определения энтропии как меры числа перестановок внутренних составляющих объекта, которые не влияют на его внешний облик. Если применить это к черным дырам, то даже если мы не можем сказать, что на самом деле представляют собой их составляющие, – поскольку мы не знаем, что происходит, когда материя проваливается в центр черной дыры, – мы можем сказать с уверенностью, что перестановки этих составляющих будут влиять на массу, заряд или вращение черной дыры не больше, чем перестановки страниц Войны и Мира будут влиять на вес книги. А поскольку масса, заряд и вращение полностью определяют лицо, которое черная дыра показывает внешнему миру, все такие манипуляции пройдут незамеченными, и мы можем сказать, что черная дыра имеет максимальную энтропию.
Более того, при этих условиях вы можете представить превышение энтропии черной дыры над всеми остальными объектами следующим простым образом. Постройте полую сферу того же размера, как и данная черная дыра и заполните ее газом (водород, гелий, углекислый газ, что угодно), которому вы позволите распространиться по внутренности сферы. Чем больше газа вы накачаете, тем больше будет энтропия, поскольку большее число составляющих означает большее количество возможных перестановок. Вы можете тогда предположить, что если вы продолжаете качать и качать, энтропия газа будет неизменно возрастать и в конечном счете превысит энтропию данной черной дыры. Это хитрая стратегия, но ОТО показывает, что она проваливается. Чем больше газа вы накачали, тем более массивным становится содержимое сферы. И перед тем, как вы достигнете энтропии черной дыры равного размера, нарастающая масса внутри сферы достигнет критической величины, которая заставит сферу и ее содержимое стать черной дырой. Нет никакого пути обойти это. Черная дыра имеет монополию на максимальный беспорядок.
Что если вы попытаетесь еще больше повысить энтропию в пространстве внутри самой черной дыры, постоянно закачивая все больше газа? Энтропия на самом деле продолжит возрастать, но вы измените правила игры. По мере втягивания материи через ненасытный горизонт событий черной дыры, не только возрастает энтропия черной дыры, но также и увеличивается ее размер. Размер черной дыры пропорционален ее массе, так что когда вы свалите больше материи в дыру, она станет тяжелее и больше. Таким образом, раз уж вы максимизировали энтропию в области пространства путем создания черной дыры, любые попытки дальше повысить энтропию в этой области будут неудачными. Область просто не может содержать больше беспорядка. Она насытилась энтропией. Чтобы вы ни делали, закачиваете ли вы газ или бросаете внутрь Хаммер, вы обязательно заставите черную дыру расти, и потому занимать больший пространственный регион. Таким образом, количество энтропии, содержащееся в черной дыре, не только говорит нам о фундаментальном свойстве черной дыры, но также говорит нам о чем-то фундаментальном про само пространство: максимальная энтропия, которая может быть втиснута в область пространства, – любую область пространства, везде и всегда, – равна энтропии, содержащейся в черной дыре, чей размер равен рассматриваемой области.
Итак, как много энтропии содержит черная дыра заданного размера? В этом месте вещи становятся интересными. Рассуждая интуитивно, начнем с чего-то, что более легко визуализировать, вроде воздуха в пластиковом контейнере. Если вы объедините два таких контейнера, удвоится общий объем и число молекул воздуха, так что вы можете предположить, что вы удвоили энтропию. Детальные расчеты подтверждают[1] это заключение и показывают, что при прочих равных (при неизменной температуре, плотности и так далее) энтропия привычной физической системы пропорциональна ее объему. Естественное следующее предположение заключается в том, что такое же заключение будет также применимо к менее привычным вещам вроде черных дыр, приводя нас к ожиданию, что энтропия черной дыры также пропорциональна ее объему.
Но в 1970х Джэкоб Бекенштейн и Стивен Хокинг открыли, что это не верно. Их математический анализ показал, что энтропия черной дыры не пропорциональна ее объему, а вместо этого пропорциональна площади ее горизонта событий, - грубо говоря, площади ее поверхности. Это совершенно другой ответ. Когда вы удвоите радиус черной дыры, ее объем возрастет на фактор 8 (23), тогда как площадь ее поверхности возрастет только на фактор 4 (22); когда вы увеличите радиус черной дыры в сто раз, ее объем возрастет на фактор миллион (1003), тогда как площадь ее поверхности возрастет только на фактор 10 000 (1002). Большие черные дыры имеют намного "больше" объема, чем площади поверхности.[2]Таким образом, даже если черные дыры имеют величайшую энтропию среди всех вещей заданного размера, Бекенштейн и Хокинг показали, что количество энтропии, которую они содержат, меньше, чем то, что мы наивно предполагали.
