имея при своем движении направление по диагонали АВ’, требует
больше времени, чем А, для прохождения части линии АС и лишь
постольку противоположно направлению более сильного тела А. Но
сила направления С, движущегося из В к А, поскольку оно совпадает
с линией
249
С А, равна силе направления С, когда оно движется прямо к А (пли,
по допущению, силе самого А). Поэтому В должно иметь настолько
степеней движения больше А,
насколько линия В А больше
линии С А, так что, если С
направляется к А косвенно, А
отразится в противоположном
направлении к А’, а В к В’,
причем каждое тело удержит все
свое движение. Если же излишек
движения В над А больше
излишка линии В А над С А, то В
оттолкнет тело А к А’ и сообщит
ему столько своего движения,
сколько нужно, чтобы движение
В относилось к движению А, как
линия В А к линии С А, а В
потеряет столько движения,
сколько перенесет на А, и будет с остатком его продолжать свое
движение в прежнем направлении. Если, например, линия АС
относится к АВ, как 1 к 2, а движение тела А к движению тола В, как
1 к 5, то В сообщит одну степень своего движения А и оттолкнет его в
противоположном направлении, а В с остальными четырьмя
степенями будет продолжать свое движение в том же направлении,
как прежде.
Теорема 28. Четвертое правило.
Если тело А ( см. фиг. 1) находится в совершенном покое и
немного больше тела В, то В, как бы велика ни была его скорость,
никогда не приведет тела А в движение, но будет им отражено в
противоположном направлении и удержит при этом свое движение
неизменным.
Надо заметить, что противоположность между этими телами
может быть устранена тремя способами: или так, что одно тело
увлечет другое, и оба будут двигаться с равной скоростью по одному
направлению; или так, что одно тело отразится в противоположном
направлении, а другое удержит весь свой покой; или так, что одно
оттолкнется в противоположном направлении, но перенесет часть
своего движения на другой. Четвертого случая
250
не может быть (по т. 13, ч. II); таким образом, нужно (по т. 23, ч. II)
доказать, что эти тела при нашем предположении испытают
наименьшую перемену.
Доказательство. Если В двигало А до тех пор, пока они оба стали
бы двигаться с равной скоростью, то В должно бы было (по т. 20,
ч. II) перенести на А столько своего движения, сколько А
приобретает, и (по т. 21, ч. II) поэтому оно должно бы потерять
больше половины своего движения, а также (по кор. к т. 27, ч. II)
потерять больше половины своего направления. Таким образом, оно
(по кор. к т. 26, ч. II) испытало бы большую перемену, чем если бы
оно потеряло только свое направление. А если бы А потеряло часть
своего покоя, но не столько, чтобы продолжать свое движение со
скоростью, равной В, то противоположность между обоими телами
не была бы устранена. В самом деле, А своей медленностью,
поскольку оно причастно покою (по кор. 1 к т. 22, ч. II),
противостояло бы скорости В, следовательно, В также должно бы
отразиться в противоположном направлении, причем В потеряло бы
все свое направление и часть своего движения, перенесенную на А;
эта перемена также больше, чем если бы В потеряло только свое
направление. Поэтому перемена, допущенная в нашем
предположении и касающаяся только направления, будет наименее
возможной для этого тела, так что (по т. 23, ч. II) никакой другой не
может произойти, что и требовалось доказать.
Надо заметить при доказательстве этой теоремы, что то же
самое имеет место и в других случаях, именно мы не привели т. 19,
ч. II, в которой доказывается, что направление может полностью
измениться, причем само движение ничего не теряет. Однако на это
надо обратить внимание, чтобы правильно понять силу
доказательства. Ибо в т. 23, ч. II мы не сказали, что перемена
безусловно всегда будет наименьшей, но лишь возможно
наименьшей. Но то, что возможна перемена только в одном
направлении, как предполагается в этом доказательстве, очевидно
из т. 18 и 19, ч. II с кор.
Теорема 29. Пятое правило.
Если покоящееся тело А ( см. фиг. 1) меньше В, то В, как бы
медленно оно ни двигалось к А, захватит его с собой и перенесет
часть своего движения на А, а именно столько,
251
что потом оба тела будут двигаться с равной скоростью ( см. § 50,
ч. II « Начал»).
Для этого правила, как и в предыдущем случае, также можно
представить лишь три случая, в которых устраняется настоящая
противоположность. Но мы докажем, что при моем предположении
происходит наименьшая перемена в телах, и потому (по т. 23, ч. II) они
должны измениться таким образом.
Доказательство. По нашему предположению, В переносит на А
(по т. 21, ч. II) менее половины своего движения и (но кор. к т. 17,
ч. II) менее половины своего направления. Но если бы В но
захватывало за собой А, но отталкивало его в противоположном
направлении, то оно потеряло бы все свое направление и перемена
была бы больше (по кор. к т. 26, ч. II); она была бы гораздо больше,
если бы В потеряло все свое направление и, кроме того, еще часть
своего движения, как предполагается в третьем случае. Поэтому
предположенная мною перемена будет наименьшая, что и
требовалось доказать.
Теорема 30. Шестое правило.
Если покоящееся тело А совершенно равно движущемуся к нему
телу В, то оно частью будет увлекаться им, частью тело В будет
отталкиваться телом А в противоположном направлении.
И здесь, как в предыдущем случае, можно представить себе лишь
три возможности, и потому я должен доказать, что при нашем
предположении имеет место возможно меньшая перемена.
Доказательство. Если тело В увлекает за собою тело А так, что
оба начинают двигаться с равной скоростью, то в одном будет
столько же движения, сколько в другом (по т. 22, ч. II и по кор. к т. 27,
ч. II). Тело В в этом случае должно потерять половину своего
направления, а также (по т. 20, ч. II) половину своего движения. Если
же В отталкивается телом А в противоположную сторону, то оно
потеряет все свое направление, но удержит все свое движение (по
т. 18, ч. II): но эта перемена равна предыдущей (но кор. к т. 26, ч. II).
Но ни то, ни другое не может произойти, ибо если бы А удерживало
свое состояние и могло изменить направление В, то А должно быть
(по акс. 20) сильнее В, что было бы противно пред-
252
положению. Если же В увлекло бы с собой А, пока оба нестали бы
двигаться с равной скоростью, то В было бы сильнее А, что также
противоречит допущению. Но так как ни одно из двух не может
иметь места, то остается лишь третье, именно, что В подвигает тело
А немного далее и само немного отталкивается им, что и требовалось
доказать (см. § 51, ч. II «Начал»).
Теорема 31. Седьмое правило.
Если В и А движутся по одному направлению, А медленнее, а В,
следуя за ним, быстрее, так что, наконец, тело В нагоняет А, и если
при этом А больше В, но избыток скорости В больше избытка
